爸爸的数学课（30）部分分式
热度 7 已有 289 次阅读 2019-3-17 22:24 系统分类:成长记录
爸爸的数学课（30）部分分式
这周两天自学了《奥数教程八》的五六讲：分式运算和部分分式。部分分式的原理还是比较难的，属于大学内容，高等数学微积分会用到部分分式。书上没有给出有理真分式部分分式分解的证明，只是给了结论。我重点讲了分母是(x-a)^n时的分解原理。
1）根据分母通分方法，说明部分分式的分母一定是(x-a)^1,(x-a)^2,...,(x-a)^n的形式
2）分子次数应该是小于分母的次数，但不一定是常数。为什么可以变为常数呢？举例看
3）分母是(x-a)^2时，分子可能是(x-b)，x-b=(x-a)+(a-b)，所以就变成了(x-a)/((x-a)^2)+(a-b)/(x-a)^2=1/(x-a)+(a-b)/(x-a)^2，自然就变成了结论。
4）分母是(x-a)^3时，分子可能是(x^2+c1*x+c2)=x^2-2a*x+a^2+(c1+2a)*x+c2-a^2=(x-a)^2+(c1+2a)*x+(c2-a^2)，所以继续转化为结论形式。
5）分子是任意m次时，分子用带余除法，可写成（x-a)^m+d1(x-a)^(m-1)+...+dm-2(x-a)+dm-1，除以分母，也能转化为结论形式。
所以结论成立。即部分分式的分子可以只有常数。
另外，如果原分式分母是二次的平方，部分分式的分母自然就是二次式的一次方和二次方。用带余除法，每次余下一个一次式，所以部分分式的分子就是一次式。
