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hmily_pine

2017-04-26

[其他] 爸爸的数学课

说说我的看法高级模式

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  • 小野猫

    2018-10-22 15:06:38 使用道具

    真是好爸爸,别人家的啊
  • cliffwander

    2018-11-2 08:40:39 使用道具

    向楼主学习
  • hmily_pine

    楼主 2018-12-23 22:48:06 使用道具

    爸爸的数学课(17)勾股定理的欧几里德证明

    国庆期间给当当讲了勾股定理的
    欧几里德证明。欧几里德证明的特点:

    1)是把c2=a2+b2的分解真正构造出来了。作三角形斜边的高,就把斜边上的正方形面积分为两部分a平方和b平方。

    2)是几何代数结合(数形结合)的经典例子。几何的题目,实实在在的代数推导。

    3)证明用到了底边平行线上的任意点与底边组成的三角形,面积不变。其实就是三角形面积公式,却用这样的方式呈现了。比较有趣。



  • hmily_pine

    楼主 2018-12-23 22:52:08 使用道具

    爸爸的数学课(18)对数及其换底公式

    对数算是高中内容。但一些提高性的题目,经常会出现对数的概念,并把换底公式给出,来让初中生来计算对数。遇到几次后,当当爸就给当当讲解对数的原理,推导对数的常见性质,重点是对数换底公式是怎么证明的。



  • hmily_pine

    楼主 2018-12-23 23:03:52 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2018-12-23 23:14 编辑

    爸爸的数学课(19)立方差(和)公式

    立方差(和)公式,在国庆前讲解平方差公式时,顺便讲过。而且在做53题目时,也遇到几次应用。今天偶尔问及,他已经忘了。

    没关系,爸爸继续讲解,并向他保证,这次讲解后,一定终身不会忘记。

    怎么讲呢,当然从他知道的平方差公式讲起。先推导一下平方差公式,然后告诉他方法类似。a三方一定是a与a平方相乘得到的,b三方一定是b与b平方相乘得到的。所以应该猜想分解应该类似于下面:

    a^3-b^3 <-- (a-b)*(a^2+b^2)

    但是乘积展开后,多了两项:ab^2和-a^2b。怎么办,右边减掉这两项。

    a^3-b^3

    = (a-b)*(a^2+b^2) + (a^2b - ab^2)

    =(a-b)*(a^2+b^2) + ab(a-b)

    提取(a-b)

    =(a-b)*(a^2+ab+b^2)

    非常清晰的探索思路。

    立方和公式,同样思路。

    这样的思路,比死记公式强多了。



  • tanket

    2018-12-24 09:59:01 使用道具

    真是好爸爸,赞!
  • hmily_pine

    楼主 2019-1-7 23:16:39 使用道具

    爸爸的数学课(20)平行四边形的对角线平方和
          近期我在看G波利亚的《怎样解题》,觉得书上的方法非常好,我把其中的例子,求长方体的对角线,让当当思考。他没有想出来。我就在小白板上画图,提示他如果高变短,长方体就会逐步变成一个长方形。从长方形的对角线来思考。经过提示,他很快就明白了,用两次勾股定理。
          我开玩笑说,长方形对角线是sqrt(a^2+b^2),长方体对角线是sqrt(a^2+b^2+c^2),那么我猜想,如果有个四个变量的东西叫四维体,他的对角线肯定是sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2),而n维体的对角线肯定是sqrt(a1^2+a2^2+...+an^2)。当当大笑,说,你想像一下给我看看?我也笑着说我想不出来,不知是什么鬼东西。其实我知道,但那是大学数学才会学到的东西。
          我觉得可以继续借机讲讲《怎样解题》中提到的思考方法。这是对付难题的套路。
          我找了一道题:平行四边形的对角线平方和等于四边平方和。这个题目是初二几何课本最后一道证明题。应该说是有点难度的。但只有上了难度才能学到解题方法。我给他出了题,写道白板上,让他思考。他明显还不会思考的套路,当然是一头雾水,白板上写的草稿也是思路混乱。我就继续提示他,从题目的条件,能想到什么类似的题目。首先题目中的关键词是“平行四边形”,平行四边形没有遇过什么题目,书上也没有什么专门性质论述,但是应该想到它的特例是长方形,看看长方形时,如何证明,很简单,勾股定理。继续思考“平方和”这个关键词,想想做过的题目和书上的结论,哪些跟平方和有关?还是勾股定理。说明要用勾股定理。如何用?一定要有直角三角形。现在平行四边形没有,怎么办?当当立马想到作高,而且作两个高。于是我就让他继续想。他想了10多分钟,还是不知怎么做。我说,这题比较难,看上去是几何,其实是代数。想不出来,没关系。我继续讲解过程。先把每条对角线的平方和表达出来。平行四边形的角会变化,所以用勾股定理时,有个三角形的边长会变化,可以先设一个x。题目暗示,结论跟这个x无关,很可能会消去。当当立马说“设而不求”。我说对,我们看看是否把他消去。两条对角线平方和的表达式写出来后,把表达式中的平方式展开,两式相加,果然消去了x。当当对白板上的代数推导看了好久。我说数学很有意思吧。
          其后继续引导,我说,遇到难题,不要怕,想想题目与曾经做过的哪些题目类似,想想题目中的词语跟书上提到的有没有关联。套路,都是套路。



  • hmily_pine

    楼主 2019-1-7 23:52:51 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2019-1-8 00:01 编辑

    爸爸的数学课(21)设而不求

         临近期末考试,我问当当数学有没有怕的地方。他说应用题列方程有点。于是我约定周末做奥数教程的“设而不求”这个专题,专门解决列方程(组)。他有点不情愿,因为有点怕难题。奥数在他眼中还是很难的印象。我说,不会做,没关系,爸爸讲解。我继续开导他,如果解决这个问题,期末考试就会考得好,那么整个寒假都会心情舒畅,代价是花费半天周末。但是如果不花费这半天,那么整个寒假可能都会因为没做出列方程的题目而郁闷。我说花个半天做做题提高一下还是值得的。我拿着七年级《奥数教程》,说,你看爸爸有没让你做过一道题?没有,爸爸舍不得你做难题的,只让你看例子。但是现在遇到没把握的地方,要做一下。他勉强同意。

          看8个例题,做其后的14道题目。例题遇到两个看不懂,题目三个不会。我都讲解了一下。当然还是要启发他。比如看例题的解答,好好思考解答中的数字时来自题目中的哪个数字,加减乘除的表达式怎么理解;好好思考有没有类似做过的题目。进水管出水管的水桶注水问题,银行柜台接待客户问题,蓄水池水用完问题,其实都是一个问题。你把这些题目联系起来,就会发现出题老师的套路了。

          有两道题目,他问我,我一时也没想出来,然后和他一起看书上的解答,可气的是标准解答只有两三行,就讲清楚了。当当笑了,立马说,爸爸你这也不会啊?我是先入为主,思路走错了,尴尬了。所以我只好说,这题目是挺难的。

          当当用了近两个小时完成任务。说,挺简单的。他做题自信大增了。我当然要鼓励他,说,这是奥数题目,很难了,超过中考题难度了,也就这样嘛。我差点就要表扬当当有数学天赋了。其实爸爸的最清楚,他是个数学普通的孩子,否则怎么会在小学老考倒数10名内呢?

  • 伍聿铭

    2019-1-8 07:39:42 使用道具

    真是好爸爸,赞!
  • martin2018

    2019-1-13 15:04:32 使用道具

    佩服!向楼主学习
  • hmily_pine

    楼主 2019-1-28 18:57:13 使用道具

    爸爸的数学课(22)圆上一点与直径端点组成直角三角形

          已经是初三的小题目了,但其实想想也没有用到多么复杂的知识,时刻牢记圆上的点到圆心距离相同。就有了作辅助线的思路。      
          这道题目可以继续延申:圆外一点到直径端点的角是锐角,园内一点到直径端点的角是钝角。证明方法就再进一步而已。     
          对当当而言还是有点难度,给他讲解了一下。
          这个题目看似简单,却用上了很多的知识。算是一个小复习和小预习。寒假要学习初三的圆了。



  • hmily_pine

    楼主 2019-2-12 23:06:47 使用道具

    爸爸的数学课(23)二次方程与二次函数

           二次方程与二次函数其实分了好几次给当当讲解。二次方程公式推导,二次方程根与系数关系推导,二次曲线作图,二次函数顶点形推导等等。讲解比较细致。当当对几何会喜欢一些,对代数不太敏感。我鼓励他,二次方程和函数是初中最难的代数部分了,学过这关,初中的代数几乎没什么了。期间,对于公式推导,我先推导一边,然后,让他看我的推导,然后让他自己再推导一遍。通常他看我的推导过程后,认为能独立推导了,就开始推导。通常都会错一两给地方。那是代数推导基本功还不行。我再次推导给他看,然后他再无误地推导一遍。算过关。其实没什么难度的,我总结给他听:就是配方法,把二次搞成一次的平方,这样才能开方求解。方法都是类似的。独立推导公式,才是真的掌握了。



  • hmily_pine

    楼主 2019-2-19 21:46:41 使用道具

    爸爸的数学课(24)弦切角定理

          弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角度数。

          人教版初中数学的书上没有这个定理。9年上圆的最后一道题用到了这个定理。所以给当当讲了讲。这个定理的证明,需要另外一个性质:平行的弦和切线将圆弧分成相等两半。数学好定理的特点就是结论简练,证明神奇,知识综合。这对拓展思路,提升解题能力很有好处。弦切角定理的证明,需要考虑三种情形,与“圆周角是圆心角一半”的证明类似。

          如何想到会有三种情形呢?这需要把弦切角交圆的一点,看作是动点,让它在圆上走一圈,就会发现证明所作的辅助线会有不同的图形。

          几何的理解,很多场合需要理解成动点,让这个点在脑中动起来,就能发现一些情形分类。理解代数函数图像也是如此,只要函数有不确定的量,就要把它变化时的图像想象出来,这样就能使用自觉来思考了。比如y=ax+3,就想象成绕着Y轴上3坐标的点进行选择的直线,旋转中的斜率变化由a确定。再比如y=ax^2,可以想象成开口不断变化(增大或减小)的抛物线,开口大小由a决定。等等。



  • hmily_pine

    楼主 2019-2-19 22:06:50 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2019-2-19 22:09 编辑

    爸爸的数学课(25)寒假的初中数学学习
          寒假不到一个月。当当的数学应该又上了一个台阶。期间基本完成了初中数学的学习。学习方法基本同暑假。
          我完成从八下一次函数到九下三角函数的讲解。
          他完成一次函数、一元二次方程、二次函数、圆、相似等内容的53内容。
          对于他不会的题目,看答案,或者我来讲解。他倾向于让我给他讲解做法。
          圆和相似是比较难的部分,他做题做得很有滋味。
          我要求的53题目做了大约有500道。对数学的自信和热爱明显更高了。
          七年级上,我的目标是数学进入班级前十名。在期末考试前的四次排名考试中,都进入了前十。算是达到了目标。
          七年级下的目标,我的要求是数学进入班级前五。他因超前学习而自信满满。提到数学,他与一年前、半年前的状态判若两人。

  • hmily_pine

    楼主 2019-2-21 20:19:35 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2019-2-21 22:25 编辑

    爸爸的数学课(26)数学开门考班级第一

          寒假没有虚度,当当很是开心,我们也很欣慰。

          开门考就是检验寒假数学学习的。当当得分95,全班第一。

          这是他有史以来,第一次考数学第一。值得纪念。这个第一对当当的鼓励是巨大的。也让同学们再次大吃一惊。黑马逆袭啊。晚上接到同学5、6给电话,都是问作业的,搞得很有名了。

          当然这也是爸爸数学课的成果啦。

          错了一题是粗心,题目有五行,比较长,把问题看错了,选择,所以答案就选错了,扣三分。老师已经打了97分,后又发现他证明题少些说明,又从严扣两分,改成95分。最后一道证明题分为两小题,居然写了考卷整整一页。因为不能用七下的知识,他把三角形内角和等于180度,又证明了一下。

  • hmily_pine

    楼主 2019-2-24 21:40:47 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2019-2-24 21:45 编辑

    爸爸的数学课(27)方差(最后一次初中课本课)

          爸爸的数学课,从2018年暑假到今天,是一个重要阶段,目的是完成整个初中数学的概貌,学习53练习册完成预习,提高数学思维层次。初中数学课本的内容是紧密关联的,而且是精心设计进度的。所以快速学一遍后,在按照学校节奏学,理解和认识回更加深刻,真应了一句“一览众山小”。前面的内容都是为后面更高级的内容打基础的。更高级的学了,基础的东西再深入学习时,就会恍然大悟其中的联系。这就是超前学习的奥秘。超前学习者与正常学习者,在认识层次上要差几个台阶。

          八年下最后一章是关于数据统计的。我一看就知道是为了今后学概率论打基础的。不是初中的重点,所以在寒假就跳过去了。初中的重点是方程,函数、三角形、圆。现在发现漏掉的还是要讲一讲。我至少会比老师讲得好一些吧。

          数据统计这部分,都是概念,没有太多的理论。对于方差,课本提了一下概念和公式,但没有详细说明这个公式的道理。我从数据波动的极端情形举例,来看公式的道理。先是数据与平均值的减差的意义,然后是加绝对值的意义,然后是平方的意义。比较平方和不平方的在统计计算时的区别。然后,我继续讲解,可以用立方来代替平方的可能。何时用立方,当然是对极端波动更加敏感时,才会用。这时,我还画了二次函数的图像,让他回忆二次方的好处。一边讲解,一边画函数图像或者离散分布图像。我想,这样的讲解,初中的老师是不会有的。

          这章内容少,又简单,所以不做53习题了。以53为习题集的学习,到此告一段落。后面进入《奥数教程(八年级)》的学习。双休节假日每天1.5小时以上。先看例题,再做习题,自学为主。



  • hmily_pine

    楼主 2019-3-3 22:18:39 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2019-3-3 22:48 编辑

    爸爸的数学课(28)开始学习八年级《奥数教程》

          本周开始学习《奥数教程(八年级)》,周六周日分别学了第一第二讲。每讲花时1.5小时。他自己先看例题,看不懂的例题,我来讲解。然后自个做习题。不会做的看解答,看不懂的就问我。我再给他讲解思路。第二讲是绝对值不等式,已经算是高中的知识点了。他大呼“烧脑子”。这些技巧都是没遇到过的,刚开始接触,理解有个过程。

  • hmily_pine

    楼主 2019-3-10 19:16:39 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2019-3-10 19:17 编辑

    爸爸的数学课(29)自学《奥数8》第三四讲
          看了网上一些评论,说《奥数教程》属于奥数入门教材。但这入门教材,对七年级的当当来说还是有一定难度的。
          第一讲2小时,第二讲2.5小时。到了本周自学第三讲第四讲因式分解部分,花了分别周六3.5小时和周日2.5小时。被他圈上作为重点的练习题都是5个。我原先计划,应该1.5小时应该够了。看来必须要在非上学日留出平均2.5小时才行。这个奥数学习比预期要花更多时间了。
          欣慰的是,他自学为主,能够投入地看例题做题,偶尔问我一下看不懂的地方。但是,每次做完都大呼“难啊”,“烧脑子”啊的。反正怎么看都不像是有数学天赋的孩子。
          初中奥数与课内题目相比,变化性灵活性大一些。奥数题更加注重特例,特定的题目需要针对性的特定方法。需要更加严谨地审题,发现题目本身的异常,从而形成特有的解题思路。不像课内题目,更注重一般性的解法。奥数题目依然是主要运用课内知识,因而对课内知识的理解强化具有非常大的促进作用。初中奥数,强烈推荐学习。
          奥数的学习需要一个前提,就是要快速地学完初中整个三年的数学。否则想学也学不了。当当利用小升初一个暑假做1000道题,初一寒假500道题,快速完成初中三年数学学习,为现在奥数入门打下基础。而他的课内数学成绩也快速提升,实现飞跃,相当给力。前几天课内的一道几何题,他用起了三角形相似来证明(相似是九下内容),后才发现搞复杂了,还有其他简单的方法。他自己想想也觉得好笑。我说,用相似也是一种方法。
          我记得暑假寒假经常鼓励他,“付出总有回报”。没想到,回报来得如此快。当当妈妈难以相信这是真的。
  • hmily_pine

    楼主 2019-3-17 22:24:55 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2019-3-17 22:56 编辑

    爸爸的数学课(30)部分分式
          这周两天自学了《奥数教程八》的五六讲:分式运算和部分分式。部分分式的原理还是比较难的,属于大学内容,高等数学微积分会用到部分分式。书上没有给出有理真分式部分分式分解的证明,只是给了结论。我重点讲了分母是(x-a)^n时的分解原理。
    1)根据分母通分方法,说明部分分式的分母一定是(x-a)^1,(x-a)^2,...,(x-a)^n的形式
    2)分子次数应该是小于分母的次数,但不一定是常数。为什么可以变为常数呢?举例看
    3)分母是(x-a)^2时,分子可能是(x-b),x-b=(x-a)+(a-b),所以就变成了(x-a)/((x-a)^2)+(a-b)/(x-a)^2=1/(x-a)+(a-b)/(x-a)^2,自然就变成了结论。
    4)分母是(x-a)^3时,分子可能是(x^2+c1*x+c2)=x^2-2a*x+a^2+(c1+2a)*x+c2-a^2=(x-a)^2+(c1+2a)*x+(c2-a^2),所以继续转化为结论形式。
    5)分子是任意m次时,分子用带余除法,可写成(x-a)^m+d1(x-a)^(m-1)+...+dm-2(x-a)+dm-1,除以分母,也能转化为结论形式。
          所以结论成立。即部分分式的分子可以只有常数。
          另外,如果原分式分母是二次的平方,部分分式的分母自然就是二次式的一次方和二次方。用带余除法,每次余下一个一次式,所以部分分式的分子就是一次式。
  • hmily_pine

    楼主 2019-3-23 22:58:33 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2019-3-24 22:17 编辑

    爸爸的数学课(31)数学学习方法

          这里,我说的数学学习方法,不是简单的课前预习、上课认真听讲、课后认真作业之类的套路。我说的是近一年我常对当当要求的一些方法和原则。

    1、快速学习。快速的意思,就是尽可能快速把初中数学学一遍。多快呢,我们是一个暑假一个寒假。既然快速,自然就不能花太多时间,当然很多问题就会遗留,不能深入理解。甚至书本也没看仔细。但是,里面的道理是,初中数学是一个整体,学到后面会不断地使用前面的知识,所以学新的本身就是在复习。一旦学完初中全部,再按照学校进度上课学,就能更多发现数学的道道,因为已经大致浏览一遍了。这个大致浏览也是要做些题目的。不要贪多题目,适当做做即可。

    2、不放过难题。数学老师肯定要求学生先拿住该拿的分数。我却要求,遇到难题,一定要搞明白。搞不懂,问爸爸,随时问。当当现在计算粗心还是有一些。但我的重点不在计算粗心上。我觉得计算的问题,有个熟练度的过程。但是难题却是提升数学思维水平的机会,不能放过。不放过难题,就会积累经验,不怕难题,养成爱思考的习惯。最后的压轴大题会做,才能显著提高数学成绩。

    3、给粗心一点点空间。孩子的成长有个过程。在一次的高强度数学测试中,出现一些粗心,并不是小学数学不过关,而是数学的思维要求已经超过了大脑的极限。那些初中老师动不动就把粗心归为小学不过关是不合适的。我对粗心采取容忍的态度。我的经验是,经过一段时期,孩子的大脑发育、数学学习和练习、有意识总结后,自然会减少粗心。

    4、转变自满观念,盯住错误地方。以前当当满足于做对了的题目,这一年我要求他每次小测大测,都要告诉我错误题目的错误原因。错误之处,一一道来,脱口讲解给我听。

    5、周末比平时更辛苦。周末两天每天完成一讲的奥数教程。现在完全是自学了。看例题,再做后面的题目,不会的自己看解答。一坐就是一两个小时,一天长则3.5小时,短则1.5小时,自个学习奥数还是比较辛苦的。我鼓励他,学好数学的秘诀就是周末下更大的功夫。和别人一样上课下课听课作业,怎么超越别人?功夫下去了,才有超越的底气。

    6、错题难题不过夜。要当天晚上都要解决掉,不能拖到第二天。这个,近期我还是盯得比较紧的。有些作业或测试,老师批改了,但没有讲解或者是以后讲解。我发现他没订正,就及时提醒并反复提醒要求,对错题要有好奇心,既然错了就要关注了,不要留到第二天。防止欠债积累。

    7、好题本。一两个月的样子,要把近期的错题好题收集道专用本子上。我觉得叫错题本,不合适。错题中有启发性的可以加进去,对的题目但也有启发性也可加进去。不是按对错来加,而是看题目的启发性来加,所以我命名为“好题本”。好题本,以剪刀剪试卷粘贴为主,尽量减少抄写量。上学期的所有测试和试卷都过了一下,该剪的都剪了。

    8、对于不会的题目,看了解答,还要思考,如何发现解题的思路。如何从题目中发现关键地方,发现解题的线索。要用笔在题目上划一划,寻找哪些特别的词句。有些题目很长,五六行七八行,不耐心看题,不仔细分析,根本无法下手。对于不会的题目,要通过看解答并思考,能够一看题目就明白下手的地方,并立刻把思路显现在脑中,这样才能放过这道题。

  • hmily_pine

    楼主 2019-3-24 22:59:24 使用道具

    本帖最后由 hmily_pine 于 2019-3-24 23:17 编辑

    爸爸的数学课(32)无理数的小性质

    x,y是有理数,x*sqrt(2)+y*sqrt(3)=0,则x=y=0。这个性质在奥数题目中用到了。但如果没经过讲解,理解还是有点难度的。当当还以为是一正一负相消变为零了呢。

    反证法:

    假设y!=0,则x/y=-sqrt(3)/sqrt(2)=-sqrt(6)/2。

    sqrt(6)是无理数,所以x/y是无理数。

    而x,y是有理数,x/y就是有理数。矛盾。

    所以假设不对,y=0。

    从而x=0。



    其实,严格地讲,这里的证明还涉及到有理数封闭性证明。即有理数的加减乘除后仍然是有理数。对于初中生也没有难度。下次再给他讲讲。

    有理数都可以表示成两个整数相除。x=a/b,y=c/d,b!=0,c!=0,d!=0,x/y=ad/bc,还是两个整数相除。所以x/y还是有理数。

    初中数学对代数方面的证明要求太低,是个明显的不足。可惜了。看来要靠当当爸来补上了。



    另外,通过a^2+b^2=25,a-b=1,应该能想到可以求出ab来。因为

    a^2+b^2-(a-b)^2=a^2+b^2-(a^2-2ab+b^2)=2ab=25-1

    ab=12。

    想不到的话,做过这样的题目,就记得这个技巧了。

  • loveorange

    2019-3-27 13:46:31 使用道具

    讲实战的,可以参考思路,太好了。
  • martin2018

    2019-3-27 20:00:57 使用道具

    数学板块最有价值的帖子
  • Lisabelly

    2019-3-29 21:05:36 使用道具

    好好爬楼学习学习,谢谢楼主分享
  • babig

    2019-4-3 10:36:39 使用道具

    举一反三吗
  • bitmanchi

    2019-4-3 21:45:26 使用道具

    谢谢分享!
  • hmily_pine

    楼主 2019-4-7 20:03:00 使用道具

    爸爸的数学课(33)结束本系列,自学为主
          难说再见,但爸爸的数学课的确是要结束了。原因很简单,不用爸爸来讲解,当当可以自学了。
          清明节三天,自学了《奥数教程八》第11、12、13讲。费事分别为3小时、2.5小时、3小时。期间没有问我一个问题,自己独立完成。非常好。说明自学能力上了一个大台阶。每讲的练习题一般还是有3-5道不会的题目,也是自己看答案解析。
          对于计算粗心的问题。他也意识到需要重视了。因为有两次小测的分数因为计算粗心导致成绩不理想。他一次是时间太少没时间复查;另一次每题做完复查,导致没有时间做后面题。他现在告诉我,每次家庭作业,都在每题后复查两遍。可见他对这个问题的重视。我觉得这些问题,都不大。只要坚持复查,就会发现易错的地方,就会在以后做题时,自我警醒。以后正式的考试,就可以达到一遍过,不用复查的程度。我也没法指导他如何克服计算错误的问题。只有靠他自己总结提高了。他现在动力较大,原因是发现题目都会,就差这个计算出错了。
  • wuchengsi123456

    2019-4-29 16:08:36 使用道具

    爸爸太厉害了,跟你学习
  • wuchengsi123456

    2019-4-30 09:28:42 使用道具

    继续学习,温故知新。
  • tzhh

    2019-5-14 12:54:09 使用道具

    用心的爸爸,学习了