浅谈小学奥数中的思维模式
面对小学奥数，我相信不少成年人也会感到不知所措。在很多的小学奥数题中，似乎要运用一些较难的数学知识，甚至涉及初等几何与代数。而在我们眼中，或许很难想像孩子们是怎样运用所学知识，解决这些“超纲”题目的，其实，这些题目中蕴涵着很多有趣的思维模式。在小学奥数中，运用的不仅仅是数学理论知识，更重要的是一种思维模式，是将多种思维模式合理地运用到实际问题中去，用简单巧妙的方法解决问题。 化归思想在小学奥数中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化为熟悉，复杂化为简单，抽象化为直观，含糊化成明朗。化归思想在小学奥数中的运用非常广泛，可以帮助我们理解题目内涵，解决实际问题。在小学奥数中，可以具体的分为关系的转化，数与数的转化，面积之间的相互转化，数形之间的转化。在这里，我主要讲述的是关系的转化与面积的转化。1． 关系的转化。所谓关系的转化，指的是如何将题目中的条件转化为对解题有用的因子如何将题目中的问题转化成方便求解的数学名词。在这里，我举一个与关系转化的有关的例题。例题雨哗啦啦地不停地下着，如在雨地里放一个如图6那样的长方形容器，雨水将它注要一个小时，现有下列A，B，C，D，E五个不同的容器，雨水注满要多少时间？ 分析这道题目看似简单，但事实上，能够将这道题目做对的人并不多。在这道题目中，最重要的是要明白，什么决定了雨注满容器的时间。我相信很多人在看到这道题目后的第一感觉是求容器的容积，觉得容积大，相应的，花的时间就长，其实不然。我们可以先仔细看看题目，在这道题目中，说雨哗哗的下，就已经点明，于是均匀地下，可以将其他可能性排除。但在什么决定了时间长短的问题上，会有一些无从下手。在这里，我们可以联系生活实际想想，我们将如图所示的长方形容器放在雨地里，我们在这个长方形中放一块挡板（厚度可忽略不计），这样，就将长方形分成了两个面积不相同的长方形小容器，把这样的一个容器放在雨里，要多长时间注满，很显然，还是一个小时。那么我们就可以推断，时间长短与底面既没有直接关系。那我们再设想一下，如果，我们将长方形容器的侧面加高，使长方形容器深度变大，如果不止10厘米，那么所用时间自然就会超过一小时；那我们将高度进行无限的向上延伸，那么，2小时后，高度会是20厘米，三小时后，高度会是30厘米，以此类推。可见，时间的长短是由高度决定的。由此我们就已经将求时间长短转化为了求立方体的高度的简单问题。 解答通过这样的转化，我们可以顺利得出A容器高10厘米，需一小时 B 容器高30厘米，需三小时 C容器高20厘米，需二小时对于C,D两个略微的不规则图形，则要进行图形的转换 由此可得，C容器高30厘米，需三小时 D容器高15厘米，需一个半小时点评在这道题目中，就是成功的运用了关系的转换，其实这道题目，本身的计算并不难，重要的是运用化归的方式，将我们不熟悉的求时间问题转变成了简单的求高度问题，应此，问题迎刃而解。关系的转化是十分重要的，合理进行关系转化，可以帮助我们确立正确的解题方向。2.面积的转化。面积的转化，顾名思义，就是运用面积之间的相互关系进行转化，用已知的来代替未知的，用方便计算的代替不容易计算的。同样，我也举一个例子。例题如图，ABCG是4ⅹ7的长方形，DEFG是一个2ⅹ10的长方形，那么三角形SCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少？ 分析这道题目看似简单，但是运用通常的计算方法，会发现，无论怎样计算，都似乎少了一些条件。在这道题目中，其实是可以运用面积转化的方法。解答可以延长BC至H，这样，要求三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少，只要求出三角形BHE与长方形CHED的面积差就可以了。因为，三角形BHE与长方形CHED中，梯形CMHE是公共区域，可以忽略不计。 那么面积之差就是（10-7）ⅹ（2+4）÷2-（10-7）×2=9-6=3点评其实这道题目的类型在小学奥数中还是很大众化的，题目本身并不出彩，但是在这种类型的题目中，却蕴涵着面积转化的思想，尤其是这道题目中，面积的转化并不是直接进行的，还需要进行连接，需要对于图形有一定的分析能力。面积的转化思想，不仅仅出现在小学奥数之中，在初等数学包括高等数学中都有非常重要的运用，对于我们学习数学有着很多的帮助。化归作为一种思想方法，包括化归的对象，化归的目标，以及化归的途径三个要素，因此，化归思想的实施应有明确的对象，因有相应的目标与方法。在平时的练习之中进行积累，将题目的化归成规律问题。并且在化归的过程之中，始终紧紧盯住化归的目标，即正确考虑如何解决原题。在运用这种方法前，要看清题意，切不可盲目化归，使得题目过早的进入死胡同。倒推思想在小学奥数中，我们往往会用到倒推的思想。什么是倒推思想呢，所谓倒推策略，通俗地讲就是“还原”，即从事情的结果倒过去想它在开始的时候是怎样的，是一种应用于特定问题情境下的解题策略。通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒过来推想”的策略加以解决。下面，我来举一个例子。这是一道小学三年级的奥数题:例题小明看一本书，他第一天看来一半加五页，第二天，看了剩下的一半加十页，这样还剩八页，求这本书一共多少页?分析初看这道题目，感觉很简单，为了这次的文章，在此之前，我特意在我们班上找了几个同学来做这道题目，其中，也并不是所有的同学都求出了正确答案。这道题目的一个关键点在于，第二次看的，并不是全书的一半而是剩下的一半。大部分人都会采用一元一次方程来解决这个问题：解答1解，设这本书的总页数为ⅹ，根据题意，ⅹ-【（1／2ⅹ+5）+（1—1／2ⅹ-5／2）+10】=8解之得ⅹ=82点评1这种方法，一环扣一环，没有什么问题，但即使是计算速度比较快的同学，也用了一分多钟，而且这个解法中，所运用的一元一次方程也比较复杂，也不是小学三年级的学生所能接受的。但是，其中有一位同学的方法则简单明朗，计算速度也快了很多，方法是这样的解答210+8=18 即第二天剩下的一半18×2=36 即第一天剩下的页数36+5=41 即这本书的一半41×2=82 即这本书的页数点评2这种方法也就是小学奥数中的常用方法，运用了倒推的思想。在我们做一些数学问题时，常常是从条件入手，根据条件来求问题，而倒推法中，是根据问题来寻求条件，即原来（未知）←————-最终（已知）运用这种方法，可以使题目的解答更清晰，迅速，下面这道题目就可以清楚的体现这一点：例题小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个，肥皂泡吹出之后，经过一分钟有一半破了，经过两分钟，还有二十分之一没有破，经过两分半钟全部破了，小明在第二十次吹出100个新的肥皂泡时，没有破的肥皂泡共有多少个？分析如果不运用倒推的方法，那么，这道题目会变得十分复杂，如果运用倒推法：当小明吹第二十次时，第十九次吹的泡泡还剩余一半，第十八次吹的泡泡还剩余二十分之一，第十七次吹的泡泡全部都破了，那么，其他各次吹的泡泡也都破了，则解答100×（1+1／2+1／20）=100×31／20=155个对于解决相对复杂的问题，倒推也有自身优点，其中，最著名的要数欧拉的遗产问题了 例题 欧拉的遗产问题是大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题，题目是这样的：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一……按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多。问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下了多少财产？ 分析《遗产问题》多出现在初中代数上，一般都用代数法（列方程）解答。但是作为一道中低年级奥数题得不另辟捷径了。其实只要抓住题中的关键所在，从后往前推算，并运用算术法的有关知识，就可迎刃而解了。因为每个儿子分得的财产一样多，而且都可以分作两部分：一是若干克朗；二是剩下财产的十分之一。第一部分是用数量表示的，第二部分是用分率表示的。如下图所示：
儿子数量表示的财产分率表示的财产
老大100克朗剩下的十分之一
老二200克朗剩下的十分之一
……
二小n剩下的十分之一
老幺n+1000
解答我们不妨先想想老幺。它分的只有一部分，而且是用数量表示的（如果一定说是两部分，那第二部分只能说是0的十分之一，即是0。）我们再想想倒数第二个儿子（简称“二小”）。他分的两部分，第一部分比老幺少100克朗，因为“二小”与“老幺”分得的财产一样多，那么第二部分就应该是100克朗（比0多100克朗），即剩下财产的十分之一是100克朗。由此可得：剩下财产是100×10=1000（克朗）。1000克朗，“二小”分十分之一，余下的都是老幺的，即是1000-100=900（克朗）,老幺分得900克朗，因此这位父亲有儿子900÷100＝9（个），共留下财产900×9＝8100（克朗）。点评倒推法有着自己独特的好处，是处理奥数问题的一种常规方法。在新课改后，倒推方法也已经进入了小学五年级的课本，成为了其中的一个章节，这也可见倒推方法的重要作用。 整体把握：什么是整体把握，就是有些问题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体结构、局部与整体的内在联系，“只见森林，不见树木”，来求得问题的解决。或许上面的介绍太抽象了，简单的说，就是两个方面，一是不考虑部分，只考虑整体，二是，将部分放在整体中求。忽略部分，考虑整体。我举了一个例子，这也是我小学时一次奥数考试的题目：例题在李奶奶家外，李奶奶用篱笆围了块梯形菜地，菜地一面靠墙。王奶奶总共用了46分米的篱笆，问王奶奶家菜地的面积？ 分析这道题目其实很简单，但当时，我们这道题目的正确率很低，包括我自己，当时也没有做出来，原因很简单，没有做到整体把握，过分追求了细节。我们记住的梯形面积公式是（上底+下底）÷2×高，我在思考的时候过分追求细节，追求上底和下底的具体数值，而没有用整体的思想，既然知道了上下底之和，又何必再求上下底的具体数值。解答这道题只要套用公式即可:（46—12）÷2×12=204平方分米。部分在整体中求解。相对来说，这种方法所应用的题目更为广泛，基本上涉及到了各种类型的奥数题，其中，最有特色的应该是面积的求解。当单个面积的求解困难的时候，就可以运用把部分放在整体中进行求解。方法十分巧妙，接着，我们就来看这道奥数题。例题三角形ABC是等腰三角形。AB=AC,∠BAC=120·,三角形ADE是正三角形，点D在BC边上，BD:DC=2:3.当三角形ABC的面积是80平方厘米时，三角形ADE的面积是多少？ 分析在单独看这个问题时，我们会发现，单独求解会遇到困难，这时，我们应有一种整体思想，抓住∠BAC=120·,那么，我们可以以A点为中心，由三个三角形ABC拼成一个大正三角形。如图 解答连接QE,RF,GD,则DEQFRG是一个正六边形。连接RD,DQ,RQ,显然三角形RDQ是一个等边三角形，且面积是六边形的一半，S⊿PBC=S⊿ABC×3=80×3=240S⊿DQC=S⊿QRD=S⊿RDB=S⊿PBC×2／2+3×3／2+3=240×2／5×3／5=57.6S⊿RDQ=S⊿PBC-S⊿PQC×3=240-57.6×3=67.2S⊿ADE=S正六边形÷6=2×S⊿RDQ÷6=22.4平方厘米点评在这道题中，就合理地运用了整体把握的思想。很多相对复杂的数学问题，如果从它的各个组成部分逐一研究，有时难以找到解决问题的途径，而有意拓宽观察问题的视角，把待解决的问题看作一个整体。通过研究问题的整体形式或整体结构。运用整体思维方法，往往能化难为易，化繁为简。从而达到巧解问题的目的。在小学奥数的训练中，通过整体思维方法的渗透与训练，可以培养学生的整体全局观念等良好的思想品质，使学生对问题的理解达到深刻，灵活，严密。具备对问题整体全局的洞察力，具有敏锐的直觉和独创性的构造。使学生具备一定的数学素养，能深刻体会、灵活运用整体思维等数学思维方法，解决相应的数学问题。 分类讨论分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。 每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，又上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。 在这里，我举了一个在小学奥数中常见的例子例题根据以下条件，求自然数a,b的值1,a＞b2,ab÷(a+b)=1693,a+b是平方数解答解：设a+b=ⅹ的平方应此ab=169×ⅹ×ⅹ=13×13×ⅹ×ⅹ可得（1）a=1,b=13×13×ⅹ×ⅹ(2)a=13,b=13×ⅹ×ⅹ(3)a=13×13,b=ⅹ×ⅹ(4)a=13×13×ⅹ,b=ⅹ(5)a=13×13×ⅹ×ⅹ,b=1又由于a＞b得，只可能（3）（4）（5）以下分类讨论（3）a=13×13,b=ⅹ×ⅹ代入第二个条件无解（4）a=13×13×ⅹ,b=ⅹ代入第二个条件得ⅹ=170（5）a=13×13×ⅹ×ⅹ,b=1代入第二个条件无整数解综上所述，a=13×13×ⅹ×ⅹ=28730,b=170点评在以上这道题目中，运用了分类讨论的方法，先将所有的可能例举出来，再一一排除当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论使用这种方法的好处在于一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。 在小学奥数中，相关的思维方式有很多很多，在各种不同的题目中综合运用，在这里，我仅仅是选择了一些进行介绍。要想做好小学奥数，需要的不仅仅是数学理论知识，更是需要相关的思维方式，只有熟练掌握了这些，并且学会合理运用，才能够更好地解决奥数问题。 奥数确实很难啊 好像看不下去了呢？老了就这样了！ 好长啊，，，，，，，，，，，， 好长呀！个人觉得弄一弄就行了，别把它当回事儿！ 有参考价值 有一道鸡兔同笼问题：鸡和兔共100只，兔腿比鸡腿多70条，问：鸡和兔各多少只？
用的就是倒推思维。大家可以试着解答 学习了！孩子也不容易啊 我家孩子还没到学习这玩意的时候呢。 没学，准备一起奋斗 好好学习一下 很喜欢，楼主如果加上图就更直观清晰了{:soso_e163:} 用的什么奥数教材呢？ 有道理啊
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