转帖 说说对中学数学竞赛的浅见
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2022-8-3 12:44
（太长，慎读）本文对中学数学竞赛不做全面探讨，只说说目前我的一些看法。没有啥速成的东西，只有大局观的内容，看完后不能指望能得到立竿见影的方法。我的认识也在不断变化，一年后恐怕又有很多不同，到时候再补充吧。按理说我这个水平来说中学数学竞赛，是非常勉强的。虽然当年参加竞赛也有不少收获，高中数学物理都能在省里拿一等奖，但毕竟冲不出省，在行家面前难免露怯。究其原因，还是小镇做题家的出身，没有大局观，训练不系统。不过好在大学以后受到了了较为系统的数学训练，后来在网络时代又获得几乎无穷电子书，大大拓宽了视野，估摸水平和大部分当年能参加国家集训队的比也不落下风了。最近两年一直在考虑鸡娃数学竞赛的问题，又回头看了一些中学数学竞赛的书籍和网上讨论，憋了两三年后终于觉得能粗浅谈谈对中学数学竞赛的看法了。不光是经验，还有很多教训，说些掏心窝子的话。如果非要用一句话来总结经验教训的话，那就是： 中学数学竞赛如果要深入搞，必须由有大学数学乃至更高视野的人来指导，否则很容易效率低下，甚至走火入魔。首先要明确的是搞中学数学竞赛，目的到底是啥？是为了高考加分（不清楚现在是否还有加分了，就算有也不会很多吧），保送，还是纯粹为了兴趣，或者为了提升数学或者一般性的逻辑思维能力。我当年也是糊里糊涂的，小学参加了竞赛成绩还凑合，但是觉得有些无聊，到了初中就不想参加，后来被老师督促着参加，觉得有意思了，就一直坚持下去了。虽然并没有多少直接收益，但是对增强信心、提高大学数学学习效率还是有一定帮助的。参加竞赛本身的效率不高，因为学习很不系统，学校老师也不具备大学数学视野。如果我能穿越回去指导当年的我，进国家集训队应该有较大把握，即便不能进最后的几人国家队。这就是为啥奥赛金牌多出自那些名牌中学的原因。有老师能提供系统资料按规律学习，和大多数时间自己找资料自学，天壤之别。我个人觉得靠数学竞赛保送好学校，对大多数人而言可能并不划算，机会太少，付出太多。应该抱着参加数学竞赛提升数学思维能力的目的，如果能取得好成绩乃至保送，当然更好了。数学能力提升，是终生受益的。参加数学竞赛需要花费大量时间，同样的时间用来提高高考成绩很可能更合算。参加数学竞赛的负面效果不仅仅是花费时间。有一个问题很少为人所注意并重视： 在中学初等数学上过度刷题训练，会限制甚至锁死一个人数学能力的上限。这是我上面说深搞竞赛必须由高视野的人来指导的重要原因。任何一个人，其数学能力早晚会碰到天花板。有的人初中平面几何证明题就过不去了，欧拉则是发现哥德巴赫猜想太难就果断放弃了。我常常想到底是什么因素决定一个人的上限？原因可能是多方面的。比如思维勤快与否。我不愿运动，跑几百米就累了，坚持不下去了。但是我知道只要持之以恒，每天多跑点，不用多久我也能跑个五千一万米下来，一旦突破阈值，跑着不但不累，还很舒服。但是我就是不愿运动。复杂一些的数学题，需要连续推导，就类似长跑，有些人一听数学就累，连续推导就更不愿意，其实这个经过训练也能坚持下来，甚至在连续推到中越推导越愉悦，进入良性循环了。这种情况不是过度刷题，而是刷题太少，其问题容易被发现并重视。我真正想重点说的是下一种情况。锁死一个人数学能力上限还有另一个可能的原因：思维定势。人类的知识这几百年大爆炸，在青少年解决的学习内容必然精简甚至抛弃了很多初等数学的东西。试想在微积分出现以前，高等级学校的大学生都只能在现在看来的初等数学里反复刷题。精简抛弃的很多东西，就堂而皇之的进入了数学竞赛，比如历史上积累了大量数学家讨论研究的平面几何证明题。一个人的脑容量是有限的，过多的刷初级知识，积攒到了一定小时数后就进入老龄化了，而这些初级知识就固化成了本能，即便学了高级知识，也本能的倾向于使用初级知识而不是高级知识解决问题，或者只会使用初级知识里的思维技巧。清代有个数学家偶然得到了欧洲传来的几个级数求和公式，没有证明，百思不得其解，于是自己花了很多年构造几何图形给了巧妙证明。其实这几个公式不过是泰勒展开的几个特例而已。这种一题一解的证明再复杂再巧妙，也不如给出通用公式在数学上的意义重大。初等数学的难题刷太多了，不知不觉会让人形成一题构造一独特解的思维定势，而不是寻找一个更广的更普遍的问题的通用解法。鸡兔同笼不会做，其实质是不会列线性方程组的普适方法。说到鸡兔同笼，我本人是不赞成用巧妙方法比如抬起一条腿什么的，应该老老实实教列方程解题。列方程解题是标准数学解题三部曲过程：把现实问题精确转换成数学语言描述，在纯数学世界里按数学规则进行变换，把变换结果映射回现实世界得到问题解。这才是数学的正确打开方式。此前的数数、加减法等是必要的准备工作，在条件允许时应该尽早转入标准三部曲。鸡兔同笼类的竞赛题不应将学生困在没有方程工具而只能靠巧妙方法解决的低水平上，而应该激发兴趣并引导学生学习列方程解题这个高级工具。对其他很多竞赛题，都应该有类似认识。
https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/462783/220802232906209.jpg也就是说，数学竞赛题大体分两类，一类是平面几何证明题类的，其数学本身是个死胡同，不具有发展性，也没有多少应用性，只是娱乐加训练思维；二类是鸡兔同笼式，是某种高级数学工具的在初等数学上的投射，竞赛应该引导学生较早接触高级工具。当然，具体到一道题目，可能是多种类型的混合体。
丘成桐主持清华招生录取，就反对用初等数学的竞赛题考学生，而是直接考大学数学，其意图是中学学有余力的学生，与其刷初等数学题目，不如直接学习大学数学的高级工具。这种观点有一定道理，但要注意丘也有自身利益考量，而且这种做法也难免引起过度内卷。究竟应该在初等数学停留多久，这个得因人而异。就鸡兔同笼这里再加一段。巧妙方法比如抬起一条腿什么的，也并非完全没有意义，至少对训练思维是有用的。还有就是数学家在研究前沿问题时，就像不会列方程的小学生面对鸡兔同笼问题一样，是极度缺少必要工具的，需要这种一题一解的能力。飞机是机器造的，但最早的飞机是手工造的。但是绝大多数人不会研究前沿数学问题，训练思维能力也有很多替代方式，所以我认为这些类似看似奇技淫巧的东西要慎用，偶尔闲情逸致玩玩可以，搞多了有可能走火入魔。前些年我在网上下载数学书给自己看，都是高等数学以上的，下了几千本，草草翻的不少，精读的不多，好歹对整个现有数学大厦轮廓有了大致了解。这两年为鸡娃下了不少初等数学书籍，有几套很早出版的初等数学小丛书之类的，光看书名和作者就知道是硬货。这些书一翻就能体会到作者的超大学数学视野，内容绝不拘泥于解题技巧，而是把一些大学数学的入门东西用中学生能看懂的浅显语言写出来。我很感慨当年要能看到这些书，今天就不会只是这般水平了。小镇做题家的局限就在这了。也许在当地根本没法买到这些印刷量很小的书籍，而书香世家的父母本身就是大学老师，早早就在书架上摆了这些书，而子女耳濡目染，差距在不知不觉中就拉开了。现在看这些书当然觉得很简单，一目十行，一看开头就知道作者想表达什么，但是细细读的话仍然有不少收益，更别提中学生了。话说回来，这些书虽然是给中学生看的，但也是基础相当好的中学生才能费力看懂的。这些书真真切切是在给你提高 内功而不是各种解题技巧的。即便不参加数学竞赛，阅读这些书对提升能力、适应高等数学的学习也是大有帮助的。我打印了几本，时不时翻翻作为娱乐放松，以后随着娃长大，还要多打印一些给她翻翻。
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https://img.xiaohuasheng.cn/expImage/462783/220802233435551.jpg什么是大学数学视野？具有大学数学视野的人，俯瞰中学数学竞赛，能很清楚知道每道题想考察什么能力，在数学大厦中对应什么东西，哪些重要，哪些不重要。就具体竞赛辅导而言，经过一定的研究后，能搞清楚各项知识的学习顺序，需要掌握的程度，以及是否有知识点和面的遗漏。更进一步，他能跟你讲讲到大学后学些什么，跟这些竞赛的内容有什么关联，激发你的兴趣并让你更好的看清将来的路。这些正是我当年严重缺乏的。东西榔头到处敲，凭兴趣这里学一点那里学一点，知识没有串起来，能否解题很大程度上靠运气，学习的效率非常低下。人类几千年了，积累的东西太多了，而个人的生命很短，青少年时期的学习时间就更短了，再聪明的人没有 外界精准的辅助也是几乎不可能摸到正途的。高斯可能独立发现等差数列求和公式，但是没听说谁小时候独立发明加减法的。现在很多名校博士去中学当老师，固然是内卷不好，但是对中学生的发展大有好处。
中学的数学大纲，是按照青少年的学习年限和一般学习能力，筛选已有数学知识后编排而成的。数学竞赛本身就是对这个的打破，具有“原罪”，偏离大纲，搞竞赛的时候深度和广度都不好掌握，学不好的话副作用很大，甚至如上所说能力就锁死在中学水平，对将来影响很大。有人奥赛是巅峰，有人则只是起点，菲尔兹都不是终点。务必注意奥数毕竟跟奥运会不一样，后者是人类体育巅峰，而前者只是中学生数学，远不是巅峰。为了体育巅峰损耗身体也许还有些道理，为了数学竞赛而付出较大代价恐怕是很不值得的。处方药得医生开，所以中学数学竞赛如果要深入搞得话，一定要由具有大学数学视野的人来指导，这也是本文的一再强调的观点。这两年给娃鸡数学的时候，我画出了两个图景。从具体的3只羊3头牛，到数字3，是用一个数字概括无穷多可能；从3+4=4+3和其他交换等式，到代数a+b=b+a，又是用一个公式概括无穷多个可能；然后上面还有抽象代数如群论，一个代数结构可以概括无穷种代数，等等。这是一个进阶图景。还有就是从加法到乘法再到西格玛求和再到微积分，另一个图景。我常常鼓励娃，学会了这个，就离微积分又近了一步，距离“同少年班水平”又接近了一步。对未知事物的好奇与憧憬的感觉，是一种难以用语言描述的快感。我很清楚的记得刚学围棋时对围棋的未知而产生的好奇感，就像跟美女第一次约会的感觉，这种感觉在以后是再也找不到了。学会了一样东西虽然很让人满足，但是随之而来失去的是无限多种可能性，以及永远失去那种神秘感后的无限惆怅。前几年我经常梦见学一本高中数学书，里面的东西竟然很难看懂，这就是以前对高中知识的憧憬感；数学小丛书之类的书，明明是跟大学数学接驳的内容，高中生得费很大力气才能看懂的书，但是现在看觉得太容易了，只能作为消遣，看的时候精神也振作不起来，好比孙悟空舞关公大刀不趁手，也是无可奈何了。学会了的东西没法忘了，很多感觉只能寄希望于在梦中重新找到了。归巢鸟作于2022年8月2日
没错，竞赛生部分靠孩子的天赋和运气。普通孩子抱着享受数学学习，开拓思维，走慢牛路线的目的适当量力而行最好。 不是躺平啊。 可能鸡兔同笼这个问题楼主或者所有不是深入研究数学的会有所误解，不管是楼主这种转贴，还是一些文章小说上对鸡兔同笼问题的解释，其实都是小学奥数里对问题的不理解，鸡兔同笼问题一开始会被解读成为什么古人会把鸡兔关一起，现代人会说，这么简单的二元方程组。这些都是及其片面的。类似一个水管放水一个水管进水问题，水库，充电放电系统都是这个问题的抽象。鸡兔同笼问题首先建立在算筹上，在代数进入中国普及前，这种问题在中国是没有未知数这种概念的，所以所谓的设方程，用代数表示，阿拉伯数字都是不切实际的。而本身这个问题的考察是思维的脱离，所以很多小学奥数令人苦恼的就是这个，教的老师不懂，自认学了的人也觉得无所意义。鸡兔同笼问题古代用的是设定思维和归同思维，设定思维就是假设鸡躺下或者兔站立，归同是把两个不同的归为同类，比如站立的兔子和鸡都是一头两脚
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