爸爸的数学课(32)无理数的小性质
x,y是有理数,x*sqrt(2)+y*sqrt(3)=0,则x=y=0。这个性质在奥数题目中用到了。但如果没经过讲解,理解还是有点难度的。当当还以为是一正一负相消变为零了呢。
反证法:
假设y!=0,则x/y=-sqrt(3)/sqrt(2)=-sqrt(6)/2。
sqrt(6)是无理数,所以x/y是无理数。
而x,y是有理数,x/y就是有理数。矛盾。
所以假设不对,y=0。
从而x=0。
其实,严格地讲,这里的证明还涉及到有理数封闭性证明。即有理数的加减乘除后仍然是有理数。对于初中生也没有难度。下次再给他讲讲。
有理数都可以表示成两个整数相除。x=a/b,y=c/d,b!=0,c!=0,d!=0,x/y=ad/bc,还是两个整数相除。所以x/y还是有理数。
初中数学对代数方面的证明要求太低,是个明显的不足。可惜了。看来要靠当当爸来补上了。
另外,通过a^2+b^2=25,a-b=1,应该能想到可以求出ab来。因为
a^2+b^2-(a-b)^2=a^2+b^2-(a^2-2ab+b^2)=2ab=25-1
ab=12。
想不到的话,做过这样的题目,就记得这个技巧了。