从“无穷远处”开始的讨论

从“无穷远处”开始的讨论

      暑假8月20日中午，跟当当就无穷远处、无穷小、无穷大的问题，讨论了一个多小时。之后，我继续讲解了极限、导数、微分、积分的基本思想。还买了本大学的《数学分析》书，给他看。但他应该没有空看，比较难也太费时间了。

       问题的起因是，物理老师关于“两个点电荷连线的中垂线上场强的特点“，老师说，”由于连线的中点处，电场强度为0，中垂线无穷远处电场强度也为零，所以中垂线上的场强分布必然是先增加后减少”。

       当当觉得老师的解释“中垂线无穷远处电场强度为零”不好理解。首先是无穷远处就理解不了，问我什么是无穷远处？我说，无穷远处是一个数学概念，不是物理概念。因为无穷远，我们无法感知，我们只能用数学来理解无穷远。理解无穷远，要先理解数学上的无穷小和无穷大，还有极限。

       最好的例子就是数列{1/n}，随着n的变大，这个数1/n会变得越来越小，甚至会变得要多小就有多小，这就是无穷小，即为0。{1/n}的n若越来越小趋向于0，1/n就会变为 无穷大00。

       当当一直在思考这个问题，第二天又问我：0不能作分母，怎么能说无穷远处是1/0呢。我说，无穷远处在数学上的表述，不是等于，而是->，是趋向于的意思。即n->00。“无穷远处”，不是实实在在的地方，是一个数学抽象。

       解释无穷远处，最好的办法还是用数学推导出“中垂线无穷远处电场强度为零”的结论来。我找了张草稿纸，就推导给他看。设两个电荷的距离为2r，中垂线上的点到其中一个电荷的连线与两电荷连线的夹角为a。按照平行四边形法则，求得中垂线上的点的场强公式是E=s*(sina-(sina)^3)。s是关于r，q等相关的常量。所以场强E的大小随着角度a的变化到90度，显然是趋向于0的。但是角度不能是90度。即a->90度时，E->0。

       既然E由0变到0，必然有一个点时最大点。如何找到这个最大点呢。就是导数的意义了。我先讲了一个二次函数y=x^2的例子，斜率时变化的，当斜率为0时，就达到了最大或最小值。这个斜率就是k=(delta)y/(delta)x，当(delta)x->0时，就得到斜率函数y=2x。这是极限的思想。

       同样对于场强公式中的函数，y=x-x^3，用同样的方法计算斜率函数是y=1-3x^2。令其等于0，就求出x=sqrt(3)/3，再用反三角函数计算求得a=arcsin(sqrt(3)/3)=35.26度。可以用maple软件看看y=x-x^3的图像，x在0到1范围内，取最大值的x是sqrt(3)/3。

       讲解全程是要画图说明的。要当场演算，每步推导都很自然。学物理，考验的数学功夫。学数学，代数逻辑推导是形，几何形象理解是魂。