中学数理存在问题但不能随意降低难度，和欧洲教材对比就能看到差距
热度 1 已有 102 次阅读 2021-7-21 09:11 系统分类:成长记录
有网友认为考试教育存在很多问题，降低考试难度、打击奥数是好的。诚然我也认为国内目前的奥数存在很大问题，但目前的降低难度方法（减少难题、灵活题）是不可取的：首先，会导致缺乏理科学习能力的学生误认为自己很擅长理科；其次，会导致拔尖学生无法冒尖，这种情况下竞争变成1分都不能多扣，迫使大家进一步加强机械化训练（理解再深刻，练习少了，计算错一个可能前5名高中都上不了的话，那只能疯狂练习了）；最后，反而有利于不理解定义定理、只机械背诵典型题型的教学方法。
还是要学习欧洲的做法，事实上二战后，现代科学大师越来越少，刚好就是因为二战，美式教育、美式科研体制替代欧式教育、欧式科研体制占据主导地位之后出现的。当然，不可否认我们培养工程师有自己的优势，怎样做到科学家和工程师的培养体系共存是最大的问题。
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这是俄罗斯一本中学代数教材，是根据莫斯科大学附属柯尔莫哥洛夫中学的课堂录音编撰而成的，适用于俄罗斯第10-11年级的数理中学代数课程。作者是莫斯科大学数学力学学院离散数学系正教授、柯尔莫哥洛夫中学兼职教授加什科夫。因为不懂俄语，只能根据软件+看数学符号，大致翻译一下它的目录：
第一章：数与组合数学
1.1）进位制；1.2）整数；1.3）欧几里得算法与连分数；1.4）斐波那契数列；1.5）二次方程；1.6）映射的组合；1.7）多项式定理；1.8）组合与分划；1.9）排列与置换；1.10）置换与对换；
第二章：数与群
2.1）置换群；2.2）群与子群；2.3）循环群；2.4）拉格朗日定理；2.5）剩余类的环与域；2.6）直积；2.7）有限域；2.8）原根；2.9）代数与密码学
第三章：多项式
3.1）多项式环；3.2）欧几里得算法与贝祖定理；3.3）插值；3.4）差分与重根；3.5）秦九韶算法；3.6）差分加法链；3.7）多项式根的近似算法；3.8）分解；3.9）逆多项式；3.10）对称多项式；3.11）多项式快速乘法；3.12）无平方分解
第四章：代数方程
4.1）解三次方程；4.2）无法化简的情况；4.3）复数；4.4）用计算器；4.5）复数根；4.6）复数域上的三次方程；4.7）四次方程；4.8）用拉格朗日方法求三次方程；4.9）用拉格朗日方法解四次方程；4.10）用欧拉方法解四次方程；4.11）代数学主定理；4.12）方程解法；4.13）方程组；4.14）为什么解方程可以这么难？；4.15）代数与几何；4.16）复数与三角；4.17）三角多项式；4.18）域扩张；4.19）尺规问题；4.20）阿贝尔-鲁菲尼定理
可以看出，内容确实是初等数学，也兼顾了一些竞赛的知识点，但绝不止于此，而是真正全面夯实基础的深度。比如进位制这样的基础知识，都进行了深入探讨：10进制、2进制、3进制，分别有什么优势？全部进行了探讨，并且融入了抽象代数的思想。下面是同一所中学的分析学讲义，似乎无法复制出来翻译，但是可以清晰地看到，实数是严格定义的，用的是公理法：
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当然，这是一所在俄罗斯上游的中学，10-11年级的讲义。普通的教材，内容确实看起来似乎少一些，排版上是彩色排印而不是这种学术性LaTeX排印，但实际上和我们比起来，同样不逞多让，比如这本11年级《代数与分析初步》
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教材的第一页，我就看到了几乎和大学数学教材一样严谨语言描述的极限定义，用的是ε-δ语言。而中国诸多大学生还在抱怨ε-δ语言很难懂。区别在于这些普通中学数学教材在实数上似乎没看到严格的定义，留待大学了。
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上世纪最伟大的数学家（之一），柯尔莫哥洛夫，也亲自写了中学代数教材，里面对极限，也是介绍了ε-δ语言的，只不过婉转一些，是先介绍微分，再严格定义极限。高中有坚实的基础，大学的教学就完全不一样了。
比如这是南京大学的《数学分析》讲义，竟然把实数系的构造列为“附录”并建议学生第一次阅读时跳过：
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绝不是南京大学的老师不好，事实上南京大学这一版教材在全世界范围内也算是优秀的，在分析和线性代数的结合上做的不错，为了知识点的引入也绝对是煞费苦心，颇具功夫的。但是实数构造可以说是迈入大学数学、接受和理解严谨数学思维的第一步，我想南大老师这么做可能也是基于自己的教学经验，学生这一块接受起来比较难吧。但南大的生源，在全国已经数一数二了。科大，生源同样数一数二，新出的少年班教材也把实数理论放到了第三学期。
在网络上了解到的俄罗斯学生普遍用的教材仍然是卓里奇。这本国内国科大好像就在用，清华也有一些老师用。欧洲近年来很有名的另一本教材是阿莫恩、埃舍尔写的德语教材。我在网上看到一个俄罗斯程序员（信息专业，不是数学专业的）推荐数学书，就把卓里奇列为基础分析推荐教材之一，把阿莫恩列为进阶教材。在中国，一般认为卓里奇是讲法很现代的入门教材，但实际上在他们看来，卓里奇已经是属于传统教材了，阿莫恩是现代讲法的教材。阿莫恩是三卷本，适合大一上、大一下、大二上三学期讲授，有英文译本，看看它的目录：
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第一章：基础知识
1）数理逻辑基础；2）集合；3）函数；4）关系与运算；5）自然数；6）可数；7）群与同态；8）环、域与多项式；9）有理数；10）实数；11）复数；12）向量空间、仿射空间与代数
第二章：收敛
1）数列收敛；2）实、复数列；3）赋范向量空间；4）单调数列；5）无穷极限；6）完备性；7）级数；8）绝对收敛；9）幂级数
第三章：连续函数
1）连续；2）拓扑学初步；3）紧性；4）连通性；5）实数域上的函数；6）指数及相关函数
第四章：一元函数微分学
1）可微性；2）中值定理及其应用；3）泰勒定理；4）迭代法
第五章：函数项级数
1）一致连续；2）连续性与可微性；3）解析函数；4）多项式近似
第六章：一元函数积分学：这里开始是大一下学期教学内容
1）跳跃连续函数；2）连续性的扩展；3）柯西-黎曼积分；4）积分的性质；5）积分的方法；6）和与积分；7）傅里叶级数；8）瑕积分；9）γ函数；
第七章：多元函数微分学
1）连续线性映射；2）可微性；3）多元微分法则；4）多线性映射；5）高阶微分；6）Nemytskii算子与变分法；7）逆映射；8）隐函数；9）微分流形；10）切线与发现
第八章：曲线积分
1）曲线及其长度；2）R^n空间中的曲线；3）Pfaff形式；4）曲线积分；5）全纯函数；6）亚纯函数
第九章：测度论初步：这里开始是大二上学期的教学内容
1）可测空间；2）测度；3）外测度；4）可测集；5）勒贝格测度
第十章：积分理论
1）可测函数；2）积分函数；3）收敛定理；4）勒贝格空间；5）n维勒贝格积分；6）富比尼定理；7）卷积；8）替换法则；9）傅里叶变换
第十一章：流形与微分形式
1）子流形；2）多线性代数；3）微分形式局部理论；4）向量域与微分形式；5）黎曼度量；6）向量分析
第十二章：流形上的积分
1）体积度量；2）微分形式上的积分；3）斯托克斯定理
代数方面，三本经典教材：柯斯特利金、温伯格、格洛登采夫，按照出版顺序是柯斯特利金最早、温伯格是世纪之交的，而格洛登采夫是最新的。俄罗斯大学一年级、二年级代数普遍用的是这三本教材，当然一般还是最传统的柯斯特利金做主教材，另外两本是扩展教材，对尖子生讲授。但也有高经是格洛登采夫做主教材的。其中柯斯特利金在国内是国科大用的教材，在国内被认为是很现代、很难的教材，实际上在俄罗斯是最传统的教材了。这三本里面，温伯格是完全为莫独大授课而产生的，篇幅最少，应该是不能作为本科主教材使用的，而格洛登采夫在高等经济大学做主教材，篇幅是足够的，大致介绍一下它的内容：
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上册（本科1年级用）：
1）集合论与组合数学基础：集合与映射、等价类、复合、偏序集
2）整数与剩余类：环、域、阿贝尔群、整环、互素、剩余类环、交换群环的直积、同态、中国剩余定理、特征
3）多项式与简单的域扩张：形式幂级数、多项式环、多项式根、根的添加、复数域、有限域
4）初等函数与幂级数扩张：分式环、有理函数域、对数与指数、Todd级数、伯努利数、分式幂级数
5）理想、商环与分解：理想、商环、主理想整环、唯一分解整环、多项式的有理系数分解
6）向量：模与向量空间、基与维数、线性映射空间、线性子空间、仿射空间、商空间
7）对偶：对偶空间、零化子、对偶线性映射
8）矩阵：域上的结合代数、矩阵代数、过渡矩阵、高斯消元、非交换环上的矩阵
9）行列式函数：体积形式、置换、行列式函数、格拉斯曼多项式、拉普拉斯关系、伴随矩阵
10）欧氏空间：内积、格拉姆矩阵、对偶、度量几何、正交群
11）射影空间
12）群：循环、同态、群作用、群分解、商群
13）群表示：生成元、对称群的表示、单群、合成列、半直积、p群、Sylow定理
14）主理想整环上的模：交换环上的模复习、不变因子、初等因子、有限生成阿贝尔群
15）线性算子：算子的分类、特殊算子、Jordan分解、算子函数
16）双线性形式：双线性形式、非退化形式、伴随算子、正交投影、对称与偏对称形式、辛空间
17）二次型：二次型、非奇异形式的正交几何、实有限域上的二次型、射影二次型、仿射二次型
18）实数与复数：实化、复化、实结构、复结构、欧式结构与辛结构的Hermitian Enhancement
19）Hermitian空间：Hermitian几何、伴随映射、正交算子、极分解与奇异值分解
20）四元数与旋量：复2*2矩阵与四元数、四元数的几何、旋量
下册（本科2年级用）：
1）张量积：多线性映射、模的张量积、同构、线性映射的张量积、模的张量积
2）张量代数：向量空间上的自由结合代数、收缩、张量代数的商代数、对称张量、交错张量、多项式的极化、格拉斯曼多项式的极化
3）对称函数：交错多项式、对称多项式、初等对称多项式、完全对称多项式、牛顿幂级数和、Giambelli公式、Pieri公式、对称函数环
4）Array,Tableaux和Diagrams的微积分
5）表示论初步：算子表示、结合代数表示、群表示、群代数、Schur表示
6）有限群表示论
7）对称群表示论
8）sl2-模：李代数、有限维sl-2单模、有限维sl-2模的半单性
9）范畴和函子：范畴、函子、自然变换、可表示函子、伴随函子、图的极限
10）交换环扩张
11）仿射代数几何
12）代数流形
13）代数域扩张
14）伽罗瓦群的例子
可以说就内容的深度来说，已经可以达到甚至超过国内很多学校研究生教材的深度了。谈论数理教育千万不能只放眼国内高数这点东西，因为非数学专业的高数实际上已经远远落后于时代，而国内大部分学校用的本科华东师大数学分析、王萼芳高等代数也已经严重落后于时代了。 这很大程度不是本科教育的差距，而是高中数理教育的差距。像卓里奇这样的数学分析，在国内被认为是最难的、清华国科大用的、很现代的数学分析，实际上在欧洲是属于传统派、老派教材了。阿恩莫、格洛登采夫这样的欧俄现代派教材，中国高中数理教学的难度恐怕很难支撑起这样的教学方式。大一表示论就开始出现了，直接放在必修基础课里面，国内的话比如南京大学的教学计划，表示论是大三下的选修课。拓扑他们是低年级就学习，常用教材一本沃罗涅日大学的，一本华沙大学的，都是大一就开始学。比如列大（圣彼得堡国立大学）数学与计算机系，大一上就开始学，用的沃罗涅日版教材，参考书是华沙版。雅大（波兰克拉科夫雅盖隆大学）数学系，拓扑学是大一下。国内的话，南京大学是大三上必修拓扑学。当然，南京大学的课程体系在国内，在我看来已经非常好了，有很多高级别课程。但是对其他专业来说，比如人工智能专业，南京大学国内算拔尖的，看他们出版的课程体系，数学课课时给了很多，但大纲内容和选择的教材都不算深入。
奥数不是说做题就是奥数，很多基础知识奥数不太好考察，但是实际上至关重要的。知乎上一个问题：为什么现代数学系没开设《高等几何》里面一个评论很好地说明了现在中国的数竞现状：
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会用就行，不要花时间去掌握背后的根本原理。 因此，这样的学生上来，能不能接受阿莫恩、格洛登采夫这样的教材都很难说，更别说大部分学生了。清华、国科大，用的也是卓里奇，没用阿莫恩。当然，能用卓里奇，已经不错了，莫大也是卓里奇不过讲的很深，4学期，还有额外的附加课与莫独大晚间附加课。
非数学专业的教材，比如莫斯科航空学院，神舟五号总设计师王永志学习过的学校。academia.interfax.ru排名，2021年在俄罗斯高校里排名第26，这个排名相当于中下游985，工科学校，国内差不多排名的工科学校是华南理工大学、大连理工大学吧？找到一本该校两位教授于2012年出的《线性代数》教材，前言写着适合工程技术和经济类使用：
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第一章：线性方程组与矩阵
1）消元法，2）矩阵与矩阵加法，3）矩阵乘法
第二章：群环域
4）集合论；5）代数运算；6）群；7）环与域；8）复数；9）复多项式
第三章：线性空间
10）线性空间；11）线性无关；12）有限维线性空间；13）子空间；14）子空间的直积；15）同构；16）矩阵的秩；17）线性方程组的一般理论；
第四章：行列式函数
18）线性形式；19）什么是行列式函数；20）行列式的基本变换；21）矩阵乘积的行列式；22）行列式分解；23）逆矩阵；24）矩阵分解；25）方阵的特征值与特征向量；
第五章：线性空间的几何
26）欧氏空间；27）正交空间；28）正交矩阵；29）欧式子空间；30）最小二乘法；31）酉空间；
第六章：线性算子
32）线性映射；33）矩阵与线性算子；34）基变换；35）线性算子的特征值与特征向量；36）对角化
第七章：Jordan标准形
37）复习；38）根子空间；39）根基；40）不变因子
第八章：欧氏空间、酉空间中的线性算子
41）共轭算子；42）正规算子；43）自伴算子；44）酉算子与正交算子；45）线性算子的分解；46）伪逆
第九章：双线性形式与二次型
47）实空间上的双线性形式；48）实空间上的二次型；49）二次型的标准型；50）一些二次型；51）复空间上的形式
基本上和数学系一些学校用的Linear Algebra Done Right差不多吧，但是这个是莫航写的，工科和经济类用的教材，不是数学系教材。在我看来是非常好的一本理工科线性代数教材，比MIT那本Gilbert Strang更值得引进。
大学教育存在问题，一方面是大学自己的问题，另一方面也需要高中供应的学生是有能力、有基础的学生，能够接受和理解先进教学内容的学生。现在高中的毕业生，大部分应该还没达到这个水平。现有中考高考的选拔不是十全十美的，但如果通过降低难度，不光离俄罗斯、德国、法国优秀学生差距会增加，还可能造成更多学生不理解基本知识、通过背诵题型获取高分。
