转：资深家长总结多年陪孩子学语文经验，找到合适的方法最重要！深度学习了！
已有 228 次阅读 2016-9-19 08:18 系统分类:成长记录
一、二年级，语文成绩曝露不出实质性问题，三年级开始，他的语文成绩，像一把尖刀直扎我心，差得惊人。差到什么地步，说出来也不怕丢人，居然期中考试得了个7字头的分数回来。不是偶然失手，是平时小测验就很差。三年级上学期，就在这种“呆”掉的状态下混完了。
到了三年级下学期，我原本满心指望语文老师能尽心盯一盯我娃这样的“后进生”，结果与老师沟通了一次以后，我彻底放弃了把希望寄托在老师手里的想法，决定按自己的语文学习方法，和孩子一起来学语文。
【三年级下学期结束前约2个月时间我们所做的那些事】
小学三年级以上阶段的语文考试，卷面分为：基础、阅读、作文三部分，“基础”这一块的最容易出效果，因为是书本的内容为主。
一、语文基础的进步
从三下结束前约2个月(8周左右时间)，我每天和孩子一起复习课内的生字词、要背诵的课文段，根据课内生字词再衍生出同音字、词，每天都理出一些，让孩子抄一抄、看一看。这段时间里，他白天上学去了，我没闲着，一有空就拿出自备的语文书，上网找一些语文试卷，对比考试题型，挑出“亮点”找些差异化的内容，整理出来，晚上给他复习、预习的时候用。会出现一些书上没学过的字词，都是我翻字典，拿到他跟前给他读。
你可以说他的学习习惯太差，是的，我承认，所以我以身作则“我找资料，给你来看，你当着我的面不得不看。”从三下起，他的语文书我非常熟悉，每课、每单元的重点，我了然于心。
这样学习的结果是：8周的时间，期末考试语文基础部分从原来能扣个4、5分升级为只扣2分，算是找了一点点分回来。毕竟只有2个月时间，要实现质的飞跃，这点量的积累还不够。从长远来看，我引导他关于书本内容的学习方法，应当是没错了。
二、语文阅读的进步
我的孩子，看书不多，一见到厚书，他就本能的排斥，这一点很不好!怎么解决这个最影响“阅读、作文”成绩的问题?还是按我自己的方法。每天和他一起读1至2篇小美文，什么文体不拘，但是我选择的基本都是写人、写事的，因为中年级的语文应试是我首先要考虑的问题。
读文的时候，我会故意讲几个文中的好词、好句，来感慨一番，然后与他一起讨论，他认为的好词、好句有哪些，请他讲讲好在哪儿?如果换作是他来写，可能会如何组织文字。通过讨论，我会让他把讨论的达成一致的内容批注在文章的旁边。有时候遇到一些他不认识的词，不懂的地方，我会让他查字典，或是上网查一下，让他对文章的理解更深入一些。批注下来的时候就有了文章的关键词、句或者是主题，对他阅读能力的提高，有一定的帮助。
8周的时间，期末考试的阅读部分，从原来很随意的扣个10来分，减到6分。(请原谅我的要求低些，因为起点放在那儿，我想高，也不是立刻就见效的。)
三、语文作文的进步
8周的时间，要想对作文能力的提高上一个台阶，我觉得是不可能的。事实证明，凡事都得有个过程。这个过程中，我努力和他一起，除了读美文，我还找了一些高一个年级的作文选让他来看。
语文书上的单元练习上，都有作文要求，我会事先找来同类、同题的作文5至8篇，让他认真看看别人是怎么写的，让他谈谈每篇作文最吸引人的点在哪里，如果运气好能遇到一些“大家”写的这类小文章，我会首先推荐给他来读，让他体会一下高手的写作技巧。
当然，单元小练中要求的作文，我会让他事先写草稿，然后我和他一起再来读。错别字，我和他一起挑。草稿中，使用得当的词句，我会和他一起圈出来，像老师那样打出星。我觉得用得不好的地方，我不直接说，而是问他怎么想的?想表达的意思是什么?如果换两种说法，还能怎么写?然后他在重新思考，口中描述的时候，我会启发他用上一些更恰当的词，这样往往在“换种说法”的时候，他能碰撞出新的火花，新的佳句，这时候我让他赶紧记下来，换掉原来用得不当之处。
在期末考试前一天，我给他作文复习的方法是：手边抄来或是网上找的很多语文参考试卷上的作文题找了约10个，和他一起坐下来审题，如果遇到这样的题目要求，应当如何下笔。(请原谅我的应试教育)
期末考的作文，我特地去看了试卷，从原来扣个10分的差文，到扣了5分的三类文，算是进步了。
【四年级】
诗、词的学习，我是放在了三升四暑假，主要让他去记。接下来的四年级，对他的语文学习，我依然按照订好的计划，一一推进。
开学以后，每天接他放学的路上，除了聊学校的见闻，就是聊诗词，有时候我真的记不住整一首诗了，会背到一半，他就自然接下去背出来。当然了，放学路上的聊天儿，玩的时候闲聊，也不是白聊、乱说一气的，如果当天发生了一些趣事，我会就事情说一个形容词，他喜欢显摆自己的半瓶水，总是会说与我不同的形容词或句子，而且是多说几个。在说的过程中，我会赞他用得恰当之处，用得不当，我会大致解释一下意思(大差不差的，做不到和字典一样)，告诉他这些词句用在什么情况下，他真就记住了，因为我看他用在作文中，恰当了不少。
基础的学习，我增加了一些成语类的知识点的识记。学校的作业量很少，而他是个不喜欢读大本书的孩子，所以美文与作文选，成了他读书的替代品。就这样和他一起学语文，他从作文随意扣个10分、8分的“怕写作文”家伙，到现在已经在省、市级刊物发表了若干篇习作，还得过一个省级作文比赛的一等奖。至少现在不怕写作文了。
通过整个四年级的语文学习，他取得了进步。这里的进步表现，不仅是拿回来的考试分数。而是很多习惯上的进步。比方说，开始是我翻字典给他看，后来是他自己查字典。对我讲的学校没有要求的诗词，他自己找书查到，主动地去背下来，而且能和我聊到李清照的婉约，苏东坡的大气，鲁迅的文章，他不太能明白“辛辣”在哪里，朱自清的一些散文描写很细腻，但是不太对他的味口等等，让我居然觉得和他能聊起来，而不是单纯我在说教。
这里，我要特别说明一下，这么久的时间，我没有让他做过N多的课外练习卷，好像就没买过。我时常会去书店翻翻那些卷子，我也会去翻翻那个教师用书，这样我会更好的把握书本知识的重点，和他在读文、复习时目的性更明确一些。语文，我个人认为不是从题海中能提高的。
【六年级】
现在已经是六年级了，从应试的角度看，他的语文成绩一般稳定在92分左右，难得失手，也在89分，算是在我能接受的范围内，也没奢望他能语文像别的娃那样考个95、99的回来。我承认自己是个应试的家长，但是成长册上的优、良、中、差，逼得我不得不从了“应试”!
希望我的拉七拉八一大堆话，对中年级的孩子家长，有所启发，让您找到合适当自己孩子的语文学习方法。当然有很多语文学习成绩一直都非常好的，那就姑且当个笑话看看。
我的体会是：语文学习是一个积累的过程，量变到质变，可能时间会有长短，但是只是静下来学习，什么时候都不算晚。
已有 8 次阅读2016-5-12 08:10 |系统分类:成长记录
小糯糯(男孩,2岁10个月)2013年10月30日——初入中学
1、语文：从小没有养成看书的习惯，也买了不少课外阅读书，但没有坚持督促孩子阅读，导致孩子语感不强、字词美句积累甚少，现在孩子的语文成绩很差，因为初中考试大部分是课外知识，后悔啊，现在更没时间看了，也没有这个习惯。
反思：现在终于明白了——有了良好的读书的习惯，进入初中语文再差也不会差哪去。
2、数学：小学学了点奥数，但种种原因（个人的、社会的）没有坚持学，导致初中择校时什么好学校也没考上。摇号进了不错的学校，分班考试很多都是奥数类型题，只进了平行班。
现在的初中数学真是不一般，孩子的周考、月考A卷难题B卷大部分题型很多跟小学的奥数差不多，只是原来的数字改成现在的字母（现在终于明白升学择校或分班要考奥数了，也明白所谓“禁奥”=放屁）。后悔啊，现在只有吃力地往前爬，花大把的金钱和时间去学。
反思：学过奥数即使没拿到奖，进入初中再难的题也有解题的思路吧。
3、英语：在小学自认为孩子的英语不错，因小学英语每学期考试都是优，就没上课外辅导班。现在初中英语虽然从字母学起，但进度很快，还没消化又讲新课，作业全是课外试卷，周末更是几大张，大半的题不会（因很多单词不知道),真不知道小学英语是怎么混过来的，还是小学英语老师不行或不重视。
我同事的孩子现在学到新概念2了，学英语很轻松，在小学感觉我的孩子和她的孩子成绩一样啊都是优啊。后悔啊，没有学课外的。
反思：小学英语学得扎实点，学得多一点，进入初中英语学习也会轻松许多。
小学的家长啊，我真羡慕你们，你们有更多时间培养好自己的孩子，一定要重视早期培养啊。不要到时像我一样后悔极了。
2013年11月11日——上半学期
结合孩子目前的初中情况给家长几个提醒。
【语文】
古诗词：小学学过的古诗词必背，最好分一下类（如描写季节、景物、情景的等等）。初中考试经常以各种形式出现，我家孩子答这样的题时总是似曾相识，但总答不全或有错别字或干脆忘了。
成语：小学一定要多积累成语且知其意识其字，初中考试也经常以各种形式出现（每考必有）。
文言文：小学有时间学一些文言文，积累一些文言词句，多体会文言文的语感（现在我孩子在该方面成了难点，经常考个0蛋回来）
总之语文一定要多读书。
【数学】
小学一定要注重以下几个知识点（初一作业、考试出现）
找规律、周期循环、图形数数、简便计算、定义新运算、数列求和、方程解题等。运算律尤其是分配律要反过来倒过去地会运用。总之小学奥数的知识多学一点最好。
【英语】
小学不在学得多，一定要学得扎实啊,在扎实的基础上多学一些更好。
2014年5月30日——即将初二
孩子初一快结束了，马上迎来关键的初二，在这一年里有欢乐、有郁闷、有信心、有失败、有失落、有希望。还是说一说孩子的各科情况及小学家长们应注意的事项吧。
【语文】
成了经常被“约谈”的科目
孩子的语文成绩自上初中以来一直没提起来，也上了1对1个辅，但收效甚微，主要问题出现在阅读理解和语言运用上。因初一各期考试都以中考为标准，课外阅读理解题（现代文、文言文）和作文占比分很大，而且阅读理解的文章内涵较深。
我孩子经常不能理解文章内涵，甚至有时读不懂，不会归纳阐述整章、段落中心思想，不会用书面干练语言解答，答题经常口水话，有时心里明白就是不会用文字表达。阅读理解差当然作文也好不到哪去，他们老师分析是阅读量不够，知识面窄，当然对文章认识肤浅，写作也就没有素材，语言素养是长期的积累过程。
确实如此，他班上语文成绩不错的都是爱读课外书的，上小学时就什么都看（无论文学类、自然科学甚至各种杂志）。我孩子在这方面确实是小学时欠了帐，现在各科学习都很紧，每天作业一大堆，哪有时间培养阅读啊，更没养成读书习惯，有点时间他宁愿假装看英语，也不去读读看看杂志什么的。
语文阅读差也导致了数学应用题的理解差，初一数学应用题文字那个多，有时他读几遍都建立不起已知条件的联系。
所以在小学一定要培养好孩子的读书习惯，多读书语文成绩不会差哪去。
【数学】
成了经常忽上忽下的科目
现在初一数学各期考试也都是以中考为标准，很多考题是中考原题。他们现在所学的内容和我们那个时代初中所学内容差不多少，但是知识点挖得很深，现在的题确实很难，实在是难啊。
孩子上了初中后我们对他的数学抓得很紧，上辅导班、做课外练习等，但成绩不稳定忽上忽下的。如果题出的基础点他的成绩就很好；如果题出的灵活点，他总是被陷阱题陷进去或就差一点做出来就是做不出来。
究其原因是数学思维的局限，数学逻辑思维的提高也是需要长期培养过程的，他们学校实验班和平行班的数学成绩就是不一样，所以小学时一定要学一学奥数（但千万不要为了得奖而学）。
再补充提醒一下小学数学注意的知识点：
1、小学里的所有几何知识（图形知识）一定要学好初中才不会苦恼。我发现小学的几何与初中几何联系得很紧密，甚至初一的某些题小学时就遇到过(如小学三年级的图形问题初一也在学），我孩子小学时几何问题弄到很懂，到了初中几何问题都能轻松应对，但有些孩子就吃力一些（这些孩子的家长反应是在小学时几何问题没过关或没重视）
2、行程和工程问题，在初中对应的知识点是变量、方程和函数的应用题。
【英语】
成了老大难科目
小学时学得一知半解、稀里糊涂，初中倍加努力成绩也只能在中游，因起跑就落后别人一截啊。听、说、读、写、背一样都不能少，现在课外学了新概念1，但他班很多同学开始学新概念2了，咋可能撵得上啊。
【习惯】
这次提一提学习习惯问题，学习习惯相当重要
请家长注意了！根据我孩子他班和其他同事孩子班情况，我发现这样一个现象：
小学成绩优秀的学生（各期考试96分以上）进入初中大部分成绩还是不错的（但这部分家长不能放松）
小学成绩中等的学生（各期考试90—95分）进入初中后很有一部分能进入优生行列（这部分家长不要为小学成绩不优秀而担心了）
小学成绩差的学生（各期考试85分以下）进入初中后成绩却很难上去，甚至跟不上（很多开始混了）
注：以上分数划分非绝对，仅根据我娃班级和部分学校班级情况了解的而划分并不科学，因各校考试难易有别，有些学校可能80分以上就是优生，60分以下才是差生。娃娃成绩优劣指的是分数一贯如此，并不是偶尔考差了就成差生了。
在这里只是想说明小学时成绩优异的和成绩平平的在初中的表现，同时提醒娃娃成绩总是不好的家长一定要重视起来，不要等到小学毕业了进入初中后才发现问题的严重性！
究其原因是学习习惯的问题
小学时成绩优秀和中等的孩子，他们的学习习惯大都是不错的，进入初中后勤奋+好的学习方法=优秀。初中所学的知识又多又难且进度快，没有良好的学习习惯成绩很难上去，小学时成绩落后的大都是学习习惯差造成的。
学习习惯是长期养成的结果，无论是好的或是坏的习惯一旦形成不易改变，所以小学成绩落后的孩子家长一定要重视起来，不要一看到成绩落后了就开始忙于补课（补课其实只能补些的知识点和解题方法，不可能补出好的习惯），一定要抓好孩子的学习习惯。
什么是好的学习习惯，学习习惯包含很多，有预习习惯、听课习惯、作业习惯、复习习惯等等，网上有很多，我就不班门弄斧了。
好啦，经验说的差不多了，这就是我根据自己的孩子总结出的一些东西，希望对小学家长们有用吧！
1．和差倍问题
和差问题 和倍问题 差倍问题
已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数几个数的差与倍数
公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系
公式 ①(和－差)÷2=较小数
较小数＋差=较大数小学奥数很简单，就这30个知识点
和－较小数=较大数
②(和＋差)÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷(倍数＋1)=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
关键问题 求出同一条件下的
和与差 和与倍数 差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树
基本公式 棵数=段数＋1
棵距×段数=总长 棵数=段数－1
棵距×段数=总长 棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5．鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9．平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10．抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
12．数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
11．定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1) 公差；
数列和公式：sn,= (a1+ an)n2；
数列和＝（首项＋末项）项数2；
项数公式：n= (an+ a1)d＋1；
项数=（末项-首项）公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））（n－1）；
公差=（末项－首项）（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13．二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。
=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
+……+A322+A221+A120
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15．质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<an。
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
17．数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18．余数及其应用
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
① =+；
②=+（d为自然数）；
23．完全平方数
完全平方数特征：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2. 除以3余0或余1；反之不成立。
3. 除以4余0或余1；反之不成立。
4. 约数个数为奇数；反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
26．工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介：
①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。
28．几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
1. 连辅助线方法
2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。
4. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
长 方 体
8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等； S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh
正 方 体
8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等； S=6a2 V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形； S=S侧+2S底 S侧=Ch V=Sh
圆锥体
下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离； S=S侧+S底
S侧=rl V=Sh
球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2 V=r3
30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、 按照行程问题中的思维方法解题；
2、 不同的表当成速度不同的运动物体；
3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、 时间是标准表所经过的时间；
合理利用行程问题中的比例关系；
