收到一个小朋友的信，经他允许，贴在这里：
话题: 请教念书的问题
Hello.最近实在是越来越困惑了，才来找你问问有关念书的问题。
马上下个学期就是三年级了，系里的课程很按部就班的讲着，想自己念点新的东西，苦于实在没有人指点念书的顺序。
到现在为止，也只念过国内的数学分析，高等代数，和简单的ODE/PDE,实变函数基础，许多东西没有一个念得动力，没有一种为了学什么而必须念某一门功课的念头，仿似念一门课仅仅是念一门而已。
系里开课很多课程都没开，都要自己念，我接下来想念的是基础拓扑学和抽象代数，可和之前说的一样，没有一个更前一步的念头：比如，我看什么之前必须看拓扑呢，这样我就有动力去念这门课。
看很多方向的名字都很“畏惧”，代数几何、微分流形、调和分析、李群、交换代数、同调代数、黎曼几何... 而不知道这些课的前导课都是什么。
想念一点代数的东西，因为感觉本科学的代数的东西实在很少，那么我该怎样念代数呢？几何、分析和拓扑是不是也要同时念一些书？
其实这些问题，我也遇到过，尤其是本科时完全不知道数学的大框架是什么样的，该学什么也不知道，浪费了无穷时间在无意义的事上……
因为我自己数学学得很不好，恐怕会误导小朋友，所以把我的答复贴在这里，大家看着指正吧？
1）小朋友说，“许多东西没有一个念得动力，没有一种为了学什么而必须念某一门功课的念头，仿似念一门课仅仅是念一门而已。”
1.1 嗯，当我为了“学什么”去念书念论文的时候，我也会没有动力。其实真正的动力来自于，你想去“了解什么”。是一个主动探索和被动接受的区别。
1.2 换言之，心里要有问题。比如说，你想知道，怎样对曲面进行分类；比方说，你想知道，怎样去刻画事物的对称性；……
1.3 问题从哪里来？
1.3.1 一方面，平时在阅读啊、听课啊、做习题啊、跟老师朋友讨论的时候，去了解，去积累；可以搜索一下近现代著名的大猜想，看看大家在这方面做了哪些工作。
1.3.2 一方面，平时多问自己。比如你在阅读课本的时候，可以问自己：这个定理究竟是要解决什么问题呢？这个定义为啥要这样定义呢，有没有可能改进呢？等等。试图像一个数学家那样去看待数学，而不是亦步亦趋跟在课本后面。
1.4 这样，哪怕只是“念一门”，哪怕你不知道这门课和别的课的联系，也会更有乐趣。试图去重新审视你学过的那些课吧，高等代数也好，数学分析也好，抛开它们对后续课程的深刻影响不说，其实它们本身就很有精彩的内容，有很好的数学思想。试图去重新发现这些精彩吧。比方说，线性代数里，为什么要找线性空间的一组基呢？比方说，数学分析里，为什么要有“紧致”这个概念呢？慢慢去体会，就会觉得很有意思。
1.5 假如，这样尝试之后，依然觉得每门课都很无趣，那就考虑学点别的吧，物理啊金融啊，看看自己的兴趣是不是在别的地方。
2）本科需要念什么？
2.1 首先是基础课：
线性代数、抽象代数；
数学分析、实分析、泛函分析；
复分析；
微分几何；
拓扑。
这些，不管你将来学什么，基本上都用得到。用布尔巴基学派的观点来看，数学在研究各种各样的结构，而最基本的结构是：代数结构，序结构，拓扑结构。它们给出集合中元素的各种关系。无论多复杂的数学结构，往往都是基于这些基本结构。或者说，为了研究某些复杂的数学对象，我们试图用这些基本结构去刻画它们。比如代数几何里，引入拓扑其实也是为了刻画代数性质。这些基础课，就是研究最基本的结构。
这些基础课，往往也蕴涵了最好的数学思想，比如，化整体为局部，再把局部拼起来；比如，研究一个几何体，可以转化为研究上面所有的“好”函数的全体；比如，把冗余的信息“抹掉”，用最精炼的方式去刻画一个东西；比如，用群在集合上的作用来描述集合的对称性……
2.2 接着学什么？
看兴趣吧。我个人很推荐学：
李群及表示论，李代数 —— 李群是有微分结构的群，李代数其实是李群在单位元的切空间。李代数分类的过程，可以学到很多思想，比如前面提到的，怎样用最精炼的语言来刻画一个东西。又很具体。
椭圆曲线和模形式 —— 很漂亮的学科，本身有丰富的内容。可以窥见现代数论。
黎曼面 —— 很漂亮的学科，可以用代数啊分析啊各种手法研究，也有助于理解代数几何等等。
代数拓扑 —— 看看代数作为工具是怎样用在研究别的学科上的。（同调代数差不多就是为了研究代数拓扑所作的代数准备……）
2.3 碎碎念：由于我是学数论的，我个人觉得，后悔本科时没怎么学代数几何和表示论，假如时光可以倒流，我真想那时候就打好基础……不过这话别太认真看，假如不是想将来搞代数几何或者数论，貌似也不见得要学代数几何……（由于小朋友问起顺序，顺便提一下，交换代数是代数几何的工具。）
2.4 继续碎碎念：小朋友还提到调和分析啊什么的，建议查查维基百科之类的，有个大概印象，知道是为了研究什么问题，有过哪些重要发展，等等，然后自己去翻翻书，有兴趣就学，没兴趣就算了。像我就没有学过调和分析，虽然做research还是会用到，也就最粗浅的一丁点儿，所以本科时学不学都不要紧，反正以后要用再学都可以。不可能什么都学的，学也是为了用，边用边学才学得快。
3) 小朋友说：“想念一点代数的东西，因为感觉本科学的代数的东西实在很少，那么我该怎样念代数呢？几何、分析和拓扑是不是也要同时念一些书？”
怎样念代数？其实念什么都差不多吧，多问自己问题，多想想为什么，这个可以用在哪儿，可以怎么推广，诸如此类。多做习题，多和人讨论。
总而言之，念书不是关键，“想问题”是关键，脑子里有疑问，学起来就有劲，不然照书念真的很无聊的。
参考书的话，基本上在GTM里挑就可以了……
4）其实我现在回想起来，本科时一则基础没打好，二则不了解当代数学的发展，根本不知道现在数学家关心什么，所以当时都是在瞎搞。所以到本科高年级，有机会就翻翻arxiv，annals, invention, ... 不用看懂，看个标题或者摘要也好，记住些名词，大致了解下别人在做什么，有点印象……或许会好些吧？
5）有机会就找同样有兴趣的同学一起读书讨论，开定期的讨论班，每周一两次，这个会很好，大家一起学更有劲，也更能互相激发ideas. 我本科时一直找不到人一起学，杯具啊。
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最后，由于我自己真的学得不好（不是谦虚，认识我的人是知道的，我一直过得磕磕绊绊），其实真的没资格说什么，以上意见仅供参考。也请大家指正补充 :)
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2011-06-17 09:31:59: 何足道
1.基础课方面是不是还应加一个集合论呢？至少是naive set theory吧。
2.墨老师主要推荐代数方面的科目。而至少调和分析和PDE在分析中是绝对的基础。
3.GTM书太多，即使是同一门课程也有好几本（比如代数拓扑），而且每本的侧重点各自不同，有的又太难了。如果直接看着标题一样就去看，恐怕会浪费不少时间。
以上均个人见解……
| 2011-06-17 09:32:15: 烟❀不堪剪 (卍) 其实科班也是自学……其实现在的问题是很多深入一些的内容都被写得不要基础就能读，究竟是先看现代一点的东西还是要先把交换代数，代数拓扑之类的基础巩固好我个人很犹豫。我现在觉得应该先知道想做什么，然后开始了解，然后快速地补完基础的缺失，这样比较高效。我曾经看的很多书现在完全没用了，有一个学期还逻辑狂热不屑学数学，现在看来没有一个好的向导太可怕了……要学会自己甄别好的数学是很漫长的过程。
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| 2011-06-17 10:05:31: 烟❀不堪剪 (卍) 其实举个例子来说，调和分析，PDE，Riemann几何，代数拓扑……这些东西通过看Atiyah-Singer指标定理就能把最基本的东西顺便掌握，这显然比先把前面那些东西各找一本大部头学完，再去看指标定理高效很多很多……集论和范畴，基本内容学什么都会用到，几遍下来也就会了，没必要专门找书读的吧？
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| 2011-06-17 11:11:46: 清平樂 (墨) 嗯我挺同意楼上的，有时候为了弄清楚一个东西就顺便搞清楚很多东西，这个是最好的。
至于科班和自学……我的观点是，最初入门最好还是要有点科班的训练，才不至于误入歧途。此后就都是自学了……
何足道说的对，我个人是比较看重代数方面的……嗯确实有点偏颇，因为我对数论以外几乎一无所知（虽然其实也不懂数论），就不清楚都需要些什么。所以请大家多补充啊 :)
至于“老师”这个称呼，实在不敢当……就叫我“墨”好了，比较自在……
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| 2011-06-20 12:26:16: 御宅暴君 (闭关修炼。) @墨 小朋友提问！
①那些蛋疼的科目，“VB程序设计”“C++程序设计”“大学物理B”以及其他之类的等等你怎么看？
②我现在大一应数，用的教材分别是《数学分析》（华东师范大学版）《高等代数》（北京大学版），里面有些加了*的或小字体化的内容，即所谓的“选读”内容，老师也一般不教的，这些内容的学习必要如何？
谢啦!!☆⌒(*＾-゜)v
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 | 2011-06-21 03:00:23: 清平樂 (墨) 答ls这位小兄弟：
1. 我只学过粗浅的C语言……物理课倒是真学过若干门，我曾经是物理系的……
其实这些跟数学没太大关系，但物理学还是为理解数学提供了很好的模型，比如广义相对论和黎曼几何啦，经典力学和变分法啦，电动力学和PDE啦。
至于编程，更没有直接关系，但是编程是很好的思维训练，我个人觉得还是很有意思的……
2. 我不熟悉华师大那本教材；北大的似乎翻过，也忘了。选读就自己凭兴趣读咯。我个人建议至少翻一下，最好读一下。实在没时间没兴趣就算了……
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 | 2011-06-21 10:14:05: 御宅暴君 (闭关修炼。) @清平樂 是吗(￣▽￣")
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| 2011-06-21 12:02:34: 这里空白太小 (仰望头顶星空，俯视心中道德律) 华东师大的我认为不好
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| 2011-06-21 12:52:26: 御宅暴君 (闭关修炼。) @这里空白太小 敢问有什么更好的教材=_____________=
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| 2011-06-21 13:03:29: 这里空白太小 (仰望头顶星空，俯视心中道德律) 国内的张筑生，习题集看数学分析习题课讲义，国外的Rudin，Apostol
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| 2011-06-21 13:21:36: 清平樂 (墨) 嗯 我们大学时用的是Apostol，我觉得很好，而且把后面的习题统统做了……
Rudin那就更是经典了。
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| 2011-06-21 14:17:51: 这里空白太小 (仰望头顶星空，俯视心中道德律) @清平樂 你本科就出去了吗
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| 2011-06-21 14:26:08: 御宅暴君 (闭关修炼。) 各种感谢。
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| 2011-06-21 15:20:07: 清平樂 (墨) lss：不能算是“出去”……那时是在香港……
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| 2011-06-22 21:57:26: jiajia (安顿下来，好好学习啦～) 哦，一点小补充：
北大那本高等代数挺好的，我本科的时候用的就是那本做教材；
前面有回复提到GTM里面有些方面有好几本书不好选，我来说几本我觉得比较好的吧（我没有比较过其他的书，所以只能推荐我看过觉得还不错的了，而且不一定是GTM的）：
交换代数 我还是喜欢Atiyah的，写的比较好，不过需要看的时候足够认真，因为其中有不少需要自己自己想证明的地方；后面习题也不错，惭愧的是我只做了三分之一……本科的娃娃们有时间可以多做做，对以后有好处；
群论 我看的是Milne的书，毕竟是免费的，而且Milne的口碑也不错；
Galois theory 我看的是Morandi的，挺好的；
category theory 我看的是那本categories for working mathematicians，说不上好或者不好，反正我也只用一些很简单的category theory；
homological algebra 看的是Weibel的，挺好的，但lg给我解释过好像用的是第二代语言，我不太明白……还有一本是剑桥出的Northcott编的，An Introduction to Homological Algebra，比较适合低年级的，不过似乎比Weibel更老 =_="
代数几何 当然是Hartshorne，不过低年级的孩子们可以先去看Mumford的red book，相对简单一些，而且mumford东西写的不错，可以建立一些比较直观的感觉；
基础拓扑 Armstrong吧，我们本科用的就是这本教材，小薄本，印象不错；
代数拓扑 上课的时候用的教材是GTM里的Topology and Geometry，感觉一般，后来自己看了Allen Hatcher的，他的网页上可以下，而且书也不贵，写的还是不错的；
关于墨jj提到的椭圆曲线，UTM里面有一本不错的，Silverman&Tate写的，Rational points on elliptic curves，挺好的，GTM里面有Silverman的arithmetic of elliptic curves和advanced topics，按顺序读下来是不错的。另外还有cassels写过一本关于椭圆曲线的教材，跟atiyah一样是典型的英国教材，习题还不错，可以用它来锻炼自己的能力（很多typo:P）
还有modular forms，我就不太清楚入门的书了，跟我的方向不是很一样，所以上完课也就没花多少时间。
差点忘了代数数论，这方面的书真的太多了，当然Lang的是经典，但个人感觉有点难，Neukirch也是要有一定基础了才读的舒服，所以入门的话我倾向于Peter Stevehagen的讲义，或者Froehlich&Taylor，或者Marcus的书，记得我是先简单看了Peter的讲义，然后F-T和neukirch结合起来看的。
学了数论之后可以学一下class field theory，硕士老板和博士老板都给我推荐的是Nancy Childress的书，容易看，里面的习题也挺好的，我也还在奋斗中。主要结构是先讲的Global CFT，最后才提的local，选这个还有一个原因是我需要用的比较多的是global的情况。如果想简单看看CFT是什么的话可以看Peter的讲义（他有两个CFT的讲义，看看比较短的那个）
然后再推销一下我的方向，function field arithmetic的话，比较好的两本书是Goss的Basic structures of function field arithmetic和Thakur的function field arithmetic。前者比较全面，但可能是因为比较老了，里面有一些很奇怪的notation（比如有限域是F_r，rank是d之类之类的，刚开始看真的会很别扭），但需要的基础不多，我有同学没怎么学过代数数论也看了；Thakur的书其实挺好的，但要求有CFT做基础，所以我也只是最近才开始翻而已。
念了挺多了，也想不起来还有什么，希望能批评指正哈 :)
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| 2011-06-22 22:00:12: jiajia (安顿下来，好好学习啦～) 发完才发现我mermer了真多，汗
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| 2011-06-22 22:50:39: 御宅暴君 (闭关修炼。) 撒花！*★,°*:.☆\(￣▽￣)/$:*.°★* 。
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| 2011-06-22 23:47:58: 这里空白太小 (仰望头顶星空，俯视心中道德律) Lang写了多少教材呀
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| 2011-06-23 00:44:55: 清平樂 (墨) 赞jiajia～～～
关于modular forms...学长推荐的是GTM228的a first course in modular forms, 我也很喜欢这本. 另外就是Bump那本和Gelbart了...
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| 2011-06-23 18:09:33: jiajia (安顿下来，好好学习啦～) 谢谢墨jj的夸奖，找个时间系统的看看modular forms的书，英国人上课太快了，22个课时一学期，感觉还是需要些书来辅助～
@空白 Lang的代数数论和代数都不错，个人喜欢他的代数多过hungerford
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| 2011-06-23 18:59:30: 御宅暴君 (闭关修炼。) 你们资历都很高了吧！
我身为大一嫩蛋壳儿真是弱爆极了！
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