当当的奥数九年级今天学到了“圆幂定理”。自学有点难度,因为书上没有给出圆幂定理的证明和详细说明。所以爸爸的数学课必须上一下了。一些原因,不能当面讲解。我一个月前就把圆幂定理的四个定理证明打印了,给他看。证明是比较简单的。但是还是有些数学思维上的东西需要讲讲。今天打电话问了一下,他说有点费解。所以我就在电话中从较高的层次上讲解了一下什么是圆幂定理。
书上说,切割线定理、相交弦定理、切线长定理、割线定理统称“圆幂定理”,这样的结论说得轻松,其实很不负责任。我是这样讲的。
1)圆幂的定理的英文是“power of a point”定理,说的是一个点与圆的关系问题。是一个关于点的定理,不是关于圆的定理。power是幂、是说这个关系是一个幂的形式,是平方形式。
2)点与圆的关系有三种,圆外,圆上,圆内。在圆上到圆心的距离是半径,定理没啥说的。点在圆内就是相交弦定理的情形。点在圆外时,过点P的直线绕P运动(用动图理解)会先相切,再相割,再相切。所以如果过P的两条直线都与圆有交点,就会出现三种情形:都相割,都相切,一割一切。所以就对应了三个定理割线定理、切线长定理、切割线定理。
3)再看这些定理的结论。都是在说同一个结论,就是PA*PB=PC*PD,(相切时,PC=PD)。这个是当当没有意识到的,所以对这些统称圆幂定理有困惑。也就是说PA*PB是个定值,值的大小与交点在哪里无关。这个定值是多少呢?跟P点有关,P点定了,值就定了。这个值是PO^2-r^2或r^2-PO^2。P在圆上是0,P在圆外是PO^2-r^2,P在圆内是r^2-PO^2。
4)PO^2-r^2就是切线长的平方,是个幂。r^2-PO^2的几何意义是过P垂直于PO的弦的长的一半的平方,所以也是个幂。“power of a point”由此得名。“圆幂”的翻译实在是不佳,让小孩费解,连我开始时也费解。应该叫“圆的点幂定理”或“点幂定理”。