数学的精神、思想和方法（2）

数学的精神、思想和方法（2）

作为“别格数学”的第一本书，我想不看上3遍，是无法参悟的。第一遍看得很粗，但已经被征服。
“大数学”“大语文”，我统统定义为“别格数学”“别格语文”。 

• （日）米山国藏

第二章 重要的数学思想

第一节 “数学的本质在于思考的充分自由”

• “各运算能无限制地进行（思考的绝对自由的要求）的原则”

第二节 传统思想与数学进步的关系

• 例如：非欧几何、负数和虚数的发现、函数概念的发展

第三节 极限思想

第四节 “不定义的术语组”和“不证明的命题组”的思想

第五节 构成了近代数学基干的集合及群的思想

• “如果没有这两种思想观点，那么，近代数学连一页纸也写不满。”

第六节 其他新思想

1. 把有限长看作无限长的思想

2. 庞加莱的非欧几里德空间

3. 把一般的曲线看作直线的思想

4. 使得特异几何学、特异数系、特异运算能够出现的思想

第七节 高维空间的思想，二维空间、四维空间

第八节 超限数的思想

第九节 数学家头脑中的空间

第十节 数学的神秘性和数学的美

1. 在千变万化中确实存在的万世不变的数学理论的特征

2. 极其复杂的运算结果得到最简单的数1

3. 在被看作全然无关的事物之间潜藏着数学上的同一的关系

4. 数学的美

第三章 数学中使用着的重要的研究方法、证明方法

第一节 研究方法、证明方法

1. 在学校的数学教学中，找出对学生所提出的问题的解决方法或证明方法的方针、方法

2. 在解决一般问题之际，一般问题包含了多种情形时的解决方法

   • 原则：首先解决最简单的情形，然后用把复杂情形、一般情形归结为这个最简情形的方针来解决复杂情形、一般情形

3. 先解决二、三中最简单的情形，对它们进行综合概括，再去解决全部情形的方法

第二节 论证方法的本质，推理方法

1. 数学归纳法的本质

• 三段式论证法

1. 数学定理、公式等的证明的本质

2. 排中律与数学中悖论的关系

3. 数学中的变换方法与事物本身不变的形态

4. 利用不能解决的材料，而使它成为能够解决的方法（变不能为可能的方法）

5. 当数学问题不能解决时，照原样利用不能解决的问题而产生极大效果的方法和思想

6. 因确定了某个数学问题不能解决而使数学大大地向前发展了的事实

7. 似乎能解决但并不容易解决的问题对数学的作用

8. 三等分任意角问题的意义

9. 实际的方法与数学的方法的区别