[小学提高] 郑毓信 《走进数学思维》

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儿子数学较弱，进来学习

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小学数学特级教师王凌的35条精彩语录（转载）



   1、情境创设是目前教学中的常用手段，一个好的情境必须能与学习内容进行有效的结合，并且能有效地帮助学生促进理解。如果情境结束后，与例题之间没有关联，则该情境就不具备良好的应用价值。

      2、数学学习是一种经验性的活动，经验性的重要表现：操作运算行为是数学认知的基础性行为。

      3、学生与数学家一样，要亲自投入，通过实际经验来获得知识，需要通过实际操作演算，或是头脑中的操作——思想实验。数学是经验性或拟经验性活动。

      4、学习数学，必须从方法论的角度关注数学教学。从数学知识的社会属性关注数学知识。

      5、对于教学，首先要考虑的是为什么要教该内容？如果没有该内容，又会如何？如何让学生也体验到该知识存在的必要性？

      6、学生的练习是一种基础活动，是必不可少的。而且，这种活动必须是个人认知的亲身体验，学生必须亲自投入。通过信息去主动地组织现象，操作对象，建构自己的理解，即使是看别人做，必须在思想上投入，并转化为自己的操作过程，无人可以替代。我们强调技能训练，其功能之一就是在促使学生“下海”，让他们进入问题的情境，在游泳中学习游泳。

      7、生活中的实际问题在课堂中可能会产生认知变异。

      这并非是教师的教学有不恰当的地方，这表明教学活动中的环境相关性，特别是我们不能期待单纯依靠在教学中引入更多的应用题就可有效地解决数学教学严重脱离实际的老问题，因为同样的问题在不同的环境中完全可能具有不同的意义。

      8、首先我们应当特别关注学生数学学习过程中思维活动的研究，从根本上说，一切的数学教学活动最终都应落实到学生的数学学习，从而只有对学生在学习过程中的思维活动具有较为深入的了解，数学教学工作才有可能超越纯粹经验总结的水平而上升为理论指导下的自觉实践。

      9、我们也不应当强调改革而对已有的传统采取彻底否定的态度，恰恰相反，在此所需要的即是对于中国数学教育传统更为自觉的总结和反思，并且这是数学课程改革顺利发展的关键之一。



      10、对于某些国家的数学教学，不能采用简单的拿来主义，它给予我们的并非是一个成功的蓝本，而是一面可供参考的镜子，可以促使我们对我们已经做过的事情做出更为自觉的反思和总结。

      在现实世界中还没有一个放之四海而皆准的国际数学课程标准，这是我们在进行课改时必须清醒认识的一个问题。

      11、对于目前正在流行的建构主义来说，它也是存在一定的缺陷的。

      现任国际数学教育委员会副主席安蒂卡所指出的：“建构主义没有充分地考虑到学习的社会和文化方面。”

      12、对于行为主义心理学，很多老师认为是应该抛弃的过时产物，事实上我们不应该对其采用决对否定的态度；他与认知心理学一样，为心理学的研究工作提供了一种可能的视角。

      13、在数学中，我们是通过相对独立的量化模式的建构，并以此为直接对象从事客观世界量性规律性的研究的。

      一个好的数学问题应当具有普遍的意义，也即能够反映一类问题的共同特性，从而事实上也就是一种模式；与此相反，如果一个问题不具有所说的普遍意义，则就会被看成是“怪题”、“偏题”，从而就不能得到人们的普遍重视。

      14、教师的工作具有一种化归的性质，即应使对学生来说原先是困难的、抽象的、复杂的东西转化成较为容易的、具体的、简单的东西。

      15、在课程改革中，我们要防止一种片面性的认识以及简单化的做法，特别的，我们不应该对各种教学方法作出正确（先进）与错误（落后）的绝对区分，要提倡教学方法

      的多样性，不能通过行政手段强制地去实现教学方法的改革，这应当成为教师一种自觉的行为。

      16、如何看待练习？练习应当被看做新的认知活动的一个必要条件，因为，从数学认知的角度看，操作构成了自反抽象的直接基础，从而，这种操作缺少了，后面的反省就无法落实。从教学的实践看，数学学习在很多情况下确实可以被看成一种不自觉的自发行为。但是如果练习没有从根本上解决学生的问题，那么，尽管所说的错误一再得到纠正，我们并可要求学生成百上千次地作同样的练习，这些错误可能仍然会以同样的方式表现出来。因此如何从一种不自觉的学习状态向更为自觉地学习状态转变，就成为搞好数学教学的一个关键问题。

      17、数学课，数学的味道要纯正些，多从数学本身的角度来考虑，注重比较，有利于促进学生反思，从而达到自觉的学习状态。

      18、数学问题从何而来？

      如何看待“问题解决”和“问题提出”的关系？特别是，那些有待于解决的问题是从何而来的？

      从这个角度看，我们的数学教育不也是传统的“传授－接受”式吗？学生总是被要求去解决由他人（包括教材编写人员、教师、出试卷的人员）所提出的问题。郑毓信教授说：“这事实上也就是问题解决这一口号何以常常与应试教育表现出一定的相容性、甚至为后者所利用的一个重要原因。”

      19、数学课要讲活、讲懂、讲深。

      讲活就是指教师应该向学生展示活生生的数学研究过程，而不是死的数学知识。

      讲懂就是指教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是死记硬背。

      讲深就是指教师在教学过程中不仅让学生掌握具体的数学知识，而且帮助学生领悟数学内在的思维方法。

      20、教师备课之初，最先要备的是你的学生对你所要教的新知识究竟有着怎样的知识基础，他们对什么感兴趣、他们会提出什么样的问题，这些正是组织教学时，教师首先应考虑而又难以想到的。毕竟成人于儿童的思维方式、角度都是不同的，所以备课之初，可在全班抽取5名左右的学生，组织其看书获阅读有关例题的材料，召开一个小座谈会，可以使教师获得极为真实而宝贵的第一手材料。

      要在课堂中推进素质教育，教师就面临一个教学观念和教学方法转变的过程，实现这一转变的基础之一就是正确理解学生学习的过程。

      21、学生为什么会发生学习问题，主要原因并不在于他们没有记住定义和公式，而是由于他们的建构活动发生了一些偏差，这涉及他们已有的知识基础、目前组织知识的方式等，要分析他们的错误，就必须深入他们的建构过程中去探查。



      22、陈老师过奖了。

      结合读书的同时，及时比对自己的教学行为，确实发现理论对实践的指导作用很大。

      23、教师首先要有较高的业务素质，尤其是有较强的解题能力，这样才能准确的把握学生回答中的合理成分，才能及时找到引导学生正确思维的方向；其次教师要有一种承认学生的意识，要从内心有一种根深蒂固的对学生的认可，这样才能对原创思维能加以鼓励。在我的教学过程中，运用这样的方法，在较短的时间里成功的改进了学困生的学习方式，增进了学习信心。



      24、教师要抵制一言堂的诱惑，在数学课堂上开展学生之间和师生之间名符其实的交流，使得学生对所学知识有自己的认识．鼓励开展讨论和各种观点间真诚的交锋，这是发展有效的逻辑思维的最好办法。

      25、对于学困生，说来我的做法也简单，首先就是要有爱心和恒心。

      26、用正确的想法取代错误的观念以达到清楚的认识，光靠学生是难以实现的．学生亲自建立起来的观念，难免有不恰当之处，而且根深蒂固，印在脑子里，不是通过一次讲课或几道题可以清除的。

      要想改变观念，学生只有从错误观念引出深刻的教训后才可能改正。

      27、同学们用自己的思考方式来探讨数学问题时，一般来说其方法与标准教科书上典型例题的方法很少有相似之外。正是儿童需要从错误中学习一样，学生学习数学也需要有不断摸索的过程，我们应当为他们提供这样的学习环境，允许他们有反复的余地。从长远来说，真正重要的事情不是记住一些数学技巧——技巧不经常用，很快就会忘记，而是树立一种信心，当他需要某一数学工具时，知道如何去发现并掌握这一工具。树立这种自信心的唯一办法就是在学习过程中贯穿创造、构造、发现数学的那种精神。



      28、数学教师必须引导学生自觉的学习。教师应扮演包括顾问、辩论会主席和对话人等在内的角色，而不只是讲授者和权威。在课堂活动中，教师应鼓励学生通过口述或书面的形式表达他们自己的想法，学生应把学数学看成人类的一种共同的活动，必须学会以集体通力合作的方式解决问题，也必须学会在各种想法和办法的冲突中，作出令人信服的论证。

      29、合理地使用计算器是数概念的组成部分。应让儿童在整个学校功课中使用计算器，正如成年人在其一生中要用计算器一样。更重要的是，儿童应学会什么时候用它们，什么时候不用它们。他们必须在与计算器打交道的经验中学会什么时候应该估算，什么时候该寻求确切的答案，如何估算答案以判断计算器答案的合理性，当手头上没有笔与计算器时，会用心算解决筒单的问题。

         

      许多成年人担心过早地使用计算器，将妨碍儿童真正地学好基本的算术。所谓真正就是指像他们父母以前那样地学，过去15年来，许多学校的经验表明，这种担心是多余的，相反，使用计算器学习传统算术的学生比不使用计算器的学生，表现出有较强的解题技巧和对数学有更好的认识。虽然不动脑筋地使用计算器同不动脑筋地笔算一样糟糕，但合理地使用计算器能够在每个孩于的心灵中滋长起现实的、有效的数概念。

      30、小学数学应加强儿童对各种模式的本能的好奇心，鼓励儿童去了解他们周围世界中的数学。只要耐心地引导他们去观察，就会发现各种各样的形、数、机会、几何、算术、概率的基础。科学活动也会通过数据、推理、观测的示范，自然地把学生引向数学。

           

      实在说来，没有一个人能教数学，好的教师不是在教数学，而是能激发学生自己去学数学。教育调查提供了令人信服的证据，那就是只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时才能真正学好数学。学生要理解数学，就必须亲自吃透那些渗透于课程中的动词，如：检查，表示，变换，求解，应用，证明，交流。要做到这一点，最好采用分小组学习，开展讨论，互相报告，以及由学生自己负责的各种形式。

      31、所有学生学习数学时都在从事大量的创造，他们按自己的想法去解释所学的东西时，就像在创造一种理论去弄懂这些东西，他们不是简单地复习学过的内容，而是用新的观点去改造原有的想法。

          因此，每个学生的数学知识都打上自己的个人烙印。

          学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心的创造与体验的方法来学习数学。

      32、读书易，真做难。

      唯心诚，方可进。

      33、数学教育决不能增强一种常见的印象，似乎只有具有唯一正确答案的问题，才用数学方法进行分析。更不能留下这样一种印象，数学思想是权威和奇才的产物。数学是人类思维的一种自然模式，它对于某些类型的问题比对另一些问题更适用些，但总是有待于用其他分析方法加以证实和检验。不动脑子的模仿性的数学在真正的课程中是没有地位的。

      34、小学是儿童学习日常生活中常用的数学技巧的地方．早先，店主算术是一个合适的目标，因为对多数人来说，日常生活中的数学并不意味着比算术更多．现在，情况不是这样了，计算器完成着日常生活中大部分的算术问题，而技术化了的社会要求每一个人对机会、推理，形状，模式都能很好地把握。

      35、今天的世界比昨天的世界需要更多的数学，明天的世界将比今天的世界又需要更多的数学，随着计算机威力的不断增强，数学的某些部分变得不那么重要，而另一部分又变得更加重要。对本世纪中期的许多人来说，精通算术可能是足以应付，而今天一个其数学本领仅限于计算的人，几乎没有什么可贡献于当今的社会，因为廉价的计算器就能够把事情办得更好。

郑毓信 提出的 美国课程改革的相关教训

第一，对基本知识和技能的忽视。
  
第二，不恰当的教学形式，即如对于合作学习的过分强调等，但却未能很好地发挥教师应有的作用。特别是，由于“建构主义”的盛行，人们认为学生只能掌握（或理解）其自身或通过同伴间合作所得以“建构”的知识，而这事实上就从根本上消取了教师在教学中所应发挥的主导作用。

第三，数学并不只是一种有趣的活动，仅仅使数学变得有趣起来并不能保证数学学习一定能够获得成功，因为，数学上的成功还需要艰苦的工作。事实是，在实践中我们经常可以看到这样的现象，即为了吸引学生的兴趣，教师或教材把注意力和大量的时间放到了相应的活动或情景之上，但却没有能集中于其中的数学内容，这当然是一种本末倒置。

第四，课程组织过分强调情景学习，而忽视了知识的内在联系。例如，在按照这种思想所编制的一些中学数学教材中，传统的关于几何、代数和三角的区分被取消了，取而代之则是所谓的‘整合性数学’，也即主要围绕实际生活来组织有关的数学内容的学习。然而，尽管后者具有综合性的特点，并较好地体现了数学的实际意义，但却未能使学生较好地掌握相应的数学知识。

第五，未能给予数学推理足够的重视。尽管《课程标准》明确地指出应当培养学生数学推理的能力，但是，就实践而言，所唯一得到强调的只是实验与猜测在数学发现中的重要作用，而逻辑与证明则完全被抛弃了。

第六，广而浅薄，这即是指，由于未能很好地区分什么是最重要的和不那么重要的，现行的数学教育表现出了‘广而浅’的弊病。特殊地，‘大众数学’看来忽视了不同的学生有着不同的需要，而一种更应注意避免的弊病则是将为一切人的数学变成了‘最小公分母’式的教育。”（“千年之交的美国数学教育”，载郑毓信，《数学教育的现代发展》，江苏教育出版社，1999年）

数学是个专业性很强的领域,我怀着崇敬的心情重新走入它的王国,只是,这次不是以学生的眼光.

学习笔记继续

学会数学思维的首要涵义：学会数学抽象（模式化）。
数学：模式的科学。这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。

帮助学生学会数学抽象的关键：应当超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。（ “去情境化”）
相关的论述：数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。

模式化的重要手段之一：引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。

分类应当具有明确的目的性。
        第一，归类：数学抽象的直接基础；
        第二，不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。
分类问题也需要优化。（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。）

学会数学思维的又一重要内涵：思维的必要优化。

类比在数学中重要作用：就是通过两个不同对象的比较由已经获得的知识去引出新的猜测。
成功应用类比联想的关键：求同存异

相对于归类与分类而言，类比联想是一种更为高级的思维形式。

很好的主题，谢谢high版！！
我们跟着学英语，现在又跟着学数学，遇上high版，真是幸福。

学习笔记 继续

数学思维的学习与教学
（1）“问题解决”与“问题提出”；（2）概念的生成、分析与组织。

数学思维学习的关键
不应求全，而应求用，也即应当密切联系自己的教学实践去进行学习，学以致用。
长期的努力方向：理论指导下的自觉实践。

相关的思想
基础知识：不应求全，而应求联；
基本技能：不应求全，而应求变；
数学思维：不应求全，而应求用。

用思维分析带动具体知识内容的教学的关键：方法论的重建，从而实现化神奇为平凡、化难为易。
意义之一：使数学教学真正“讲活”、“讲懂”、“讲深”；
意义之二：使数学思维真正成为可以理解的、可以学到手的、和可以加以推广应用的。

“讲活”：教师应当通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；
“讲懂”：教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；
“讲深”：教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。

“从教师的角度看，胸中有全局，了解并熟悉小学数学各个学习阶段‘解决问题’的教学内容、教学目标及学习过程中的思维关注点，是十分重要的。”
可能的概括：第一学段：学会数学化；第二学段：领悟到解决问题的完整思维过程；第三学段：开始学习解题策略。

先收着  谢谢H版

恩 ，我也去学习下~~

好东西，要学习学习：）谢谢哈。。。

唉，发现我又要学习了

我对数学就很犯怵
担心引导不好孩子

以前只知道high5对英语教学很有研究,现在才发现high5对数学教育也颇有心得,佩服啊!佩服!

谢谢，正好需要！

学习了,谢谢....

感觉数学也有兴趣的成分在里面，只要有兴趣，通过对关键知识点的训练，提高起来应该很快

HI版的贴子一定要好好拜读，先收藏，谢谢。

有空仔细阅读，谢谢分享

非常感谢，这个贴子总结了很多数学教学的经验。

谢谢HI5，谢谢爸妈网

俺这就去学习，谢谢推荐

好东西，要好好学习学习：）谢谢哈。。。

建立数学思维，需要读经典数学书籍。我们正在读《什么是数学》中的部分内容，小孩子的话，就玩玩相关漫画书吧