本帖最后由 xuanxuanie 于 2016-5-16 17:56 编辑
谈数学思维的培养——马立平《小学数学的掌握和教学》读后
的含义是什么？如何计算？
这是马立平在《小学数学的掌握和教学》中提出的四个问题之一，用来测试中美数学教师的概念性理解和过程性知识。
在四则运算中，除法是最难的。而在小学数学中，分数又被认为是最复杂的数。所以，对分数进行除法运算，是小学数学中最难的部分。
在接受访谈的23位美国教师中，有21人计算了，只有9人（43%）完成了计算，并得到了正确的答案。所有72名中国教师计算都正确，并且给出了问题的完整答案。大多数中国教师用了“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的说法，而不是像美国教师那样说“倒过来相乘”。美国教师只提供了一种计算方法，而中国教师则用了多种方法。
如何理解？只有一位美国教师描述了这个等式的正确含义，大多数教师都混淆了除以和除以2、乘以的区别，没能编出或者编出错误的情景题。中国教师中有90%都能正确表示等式的含义，72名中国教师中有65名一共给出了80多个情景故事，正确地表达了分数除法的含义。
在分数除法上，中美教师之间的差距非常显著。此外，在多位数减法、多位数乘法以及周长与面积的关系专题上，中国教师的表现也好于美国教师。看来，国际上认为中国人数学好的印象并不是空穴来风，是有扎实的研究作为基础的。
马立平来自上海，上世纪80年代末留学美国，这本书是她在博士论文的基础上修改而成，用英文发表的。据说在美国和国际上引起巨大轰动，被称为是一部“美国名著”。马立平的研究，不仅对美国数学教师有益，对于中国的数学教师及家长也有很大启发。
为什么中国数学教师比美国数学教师更优秀呢？除了中国数学教师在从事教育工作之前底子好之外，他们更专业。美国小学教师一般是全科教师，除了个别音、体、美不教外，英文、数学、科学等统统承包了。主课教师一般整日待在教室里，这样便于对学生的深入了解和学科之间的横向联系。而中国教师是分科的，基本上教语文的就教语文，教数学的就教数学，除上课外他们一般待在办公室里，有很多时间与同事相处，常常举行教研活动，互相切磋数学教育问题。美国的教师们则很难彼此接触，通过教研活动提高职业水平。
中美数学教师之间的差距是简单的计算能力之间的差距吗？这其实是一种表面化的认识，中美教师之间的差距主要在概念性理解的差异，中国教师更注重“知其然，更要知其所以然”。比如在多位数的减法计算中，美国讲“借位”，这就有很多含混不清之处。中国上世纪80年代以前，也借用西方的“借位”概念。笔者本人80年代初读小学时，即是教授的这一概念。80年代以后，减法计算不再用“借位”的说法，而是代之以“退位”，这就使学生能够更好地理解减法计算。中国教师更重视概念性理解，而不是单纯的过程性知识。学好数学的关键在能够进行正确地概念性理解，光搞题海战术是错误的。“美国教师倾向于关注与运算相关的具体的算法，例如，重组做减法，多位数乘法，分数除法，而中国教师更加关心基本运算以及运算之间的关系。他们特别感兴趣的是如何以更快速、更简单的方法完成给定的计算，怎样把四则运算的意义联系起来，怎样跨越整数、分数和小数等等子集，表示它们的意义和它们之间的关系。”
马立平认为，中国教师对小学数学有深刻的理解，主要表现在四个方面：
1、关联度。中国教师总是倾向于在数学概念和方法间建立联系，这能防止学生的知识支离破碎，学生学到的不是孤立的专题，而是知识的有机整体。
2、多角度。中国教师欣赏一个概念的不同侧面和解决问题的不同途径，以及它们的优势和不足，教师能引导学生灵活地理解该学科。
3、基本思想。中国教师清楚简单而又强大的基本数学概念和原理，倾向于重温这些基本概念，鼓励学生深入问题。
4、纵向融会贯通。中国教师不局限于某个年级所教的数学知识，而是对整个小学数学课程有深刻的理解。
要掌握小学数学，应以教材为依托，注重概念的理解，并能够将小学基础知识系统地联系起来。这样将来才能更好地继续数学的学习。
