[幼儿启蒙] Repost 为什么孩子学习数学会遭遇瓶颈（附六年学习计划）

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为什么孩子学习数学会遭遇瓶颈（附六年学习计划）
大陆大陆的星辰大海 2017-03-12
引言

数学，儿童学习领域里永恒的话题，这个永恒性似乎不是从数学结构本身来讲的，而是从应试角度来讲的。作为选拔优秀孩子的一个标准，数学被提高到了前所未有的程度，挤破脑袋要进名校的学生必须过数学这一关，并且在此后多少年内，都始终会担心数学成绩是否落后于他人，父母忙不迭地送孩子去辅导班，超前学习或者学习各种应试套路，以保证名次排列前茅，或者至少不垫底。

正因为人们注意力聚焦于这个目标：考试成绩，而大多数人认识数学重要性也由此开始，所以有一点不可避免的遗憾在于，我们其实没有精力去研究，如何设计一条科学合理的发展数学思维的路径，因为这明显与已经延伸至幼升小的战场氛围不符。谁能忍受得了，外面已经战火纷飞，而还能让自己孩子安心坐在家里慢慢等待脑袋开窍，欣赏数学的美呢？

我们都知道，谈到战略，必然是一条漫长的路。而谈到战术，是当下应对的迅速能看到结果的技巧。数学思维发展和数学应试策略，这完全是两个方向。

看起来，我们不得不选择战术这条路，不然就会被击溃，而失去机会。人们说，如果你连好学校都进不去，还谈什么发展呢。

道理虽如此，但现实路径上，我们回避了一个问题：在什么时间点选择战术策略的问题。假如，今天，你的孩子已经10岁了，我想说，你尽管选择战术去解决当下问题吧，我们很难在一个10岁孩子身上去谈从零开始的发展战略。如果今天你的孩子只有4岁，我认为你完全可以笃笃悠悠地选择发展这条路。当你放弃一条原本可以有序稳妥发展你孩子数学思维的战略路线时，每一年，你越多接触战术策略层面的应试技巧，你的孩子也在每一年透支他的发展资本，所以到了最后，你会发现，你想走下这条路已经不可能，他也没有机会再回到发展这条路上去，于是只能硬着头皮在战场中血战到底，拼爹也好拼娘也好，能上全都上，然而这也阻止不了瓶颈必然会出现，有时候，这也意味着，智力层面永久性地遇到平台期。

让我们回到数学思维发展这条路上来，战略是如何制定出来的？它并不孤立于现实存在，虽然我们有规可循，有前辈们多少年研究积累，但是我们不可能脱离现实，现实是我们孩子必须面临的考核，题目千变万化，但所谓“万变不离其宗”，出题者挖空心思想提高难度来筛选出精英，但很显然，这些难点，在基本结构层面都是相通的，我们并没有发明新的算术，我们也没有凭空生成新的数学领域，小学数学，各种题型衍变，只是在下面四个水平上变化。

第一水平：规律模式能力水平

为什么孩子的数学学习会遭遇瓶颈，我必须说，首当其冲的是，我们没有重视儿童掌握“规律模式能力”的发展，或者直白一点讲，我们容易点到即止，不够重视规律模式。这几乎是儿童抽象思维得以发展进阶的基石，这块基石有多坚实，并不断沉积下来更多经验，决定了我们能够在更高难度的挑战上可以发挥到多大极致。

题型是永远讲不完的，今年明年，每一年杯赛总是有新鲜出炉的题型，第二年各大机构，老师都忙乎在研究发掘解题思路上，这个过程中，可能最受益的是老师，老师每一年都在“锻炼”他们自己的模式能力，但是他们把咀嚼后的东西吐出来，就好像母亲喂婴儿一样的，他们帮助儿童消化了“模式”，但是儿童自身没有识别模式的能力，儿童的归纳能力在这种喂婴式的教育里慢慢退化。家长们也陪着孩子变成嗷嗷待哺的幼鸟，等着机构出大招，给出终极方案。

别小看各种幼升小的图形题，小学数字规律题，这不是什么奥数思维，是基础得不能再基础的规律模式题了。但是老师忙着出题解题的时候，却忘记了识别模式的基本概念，是最最重要的（我在“八年积累聚焦一件事”中讲过模式例题），父母其实也并不知道重点在哪里，只是跟着老师的思路来教孩子，我们看不明白孩子为什么做错，或者只是简单抱怨一下题目出得有歧义，但真正对孩子有帮助的概念我们忽略了。

规律模式能力的掌握，有一个渐进的过程，有时候甚至你会觉得培养这个能力，压根儿与数学无关，是的，假如我们在孩子3，4岁开始谈这件事，你可以根本无需去谈数字，生活中到处充满规律模式，美来自于次序，次序是数学结构的重要部分。

“察觉”，是在看的基础上，增加了思考。我们希望培养孩子的艺术能力，是认为这有助于孩子的想象力创造力发展，只是我们忽略了真正的艺术来自于生活与哲思，没有经历，艺术是苍白的。同理，我们让孩子学习数学，认为有助于逻辑思维发展，但是我们忽略了数学是一门在生活中发展起来的学科，是以解决问题为目的的，它渗透于各个领域和学科中，没有对经验的“察觉”，数学是空中楼阁。

规律模式能力的发展，关系到如何解决：

图形规律题包括数线段数图形

填数题以及理解等差数列

通过等差规律的理解进而解决数独数阵问题

从图形出发进阶补全相关的求周长求面基以及一笔画

结合运算后的植树问题，奇偶数问题

从算式中寻找规律去进一步延伸等等

这些问题，回归本质都是在规律模式中，或者说解题中的瓶颈在此，有时候讲一道题目，孩子似懂非懂，是因为他们没有“察觉”规律模式的能力，你指出来看似懂了，换一题又察觉不出规律了，这种能力是无法依靠讲解套路获得的，举一反三的能力本身就是依靠规律模式能力的发展。

如何解决这个问题，规律模式在最初（学龄前）两年，需要依靠大量具象经验建立，这种能力还涉及到一种最基本的推理能力（类比推理），这甚至在儿童2岁多已经开始发展，各种各样生活经验的输入，以及再整合，你不断提醒儿童去“察觉”本身，是一种反省与归纳能力的培养，这些基础，完全应该成为你培养孩子早期几年里的重点，如果把这些能力的培养替换成讲题目，做题目，那可真是得不偿失，本末倒置，你会发现到了儿童7，8岁再去弥补他们类比推理能力的缺失，是一件极为困难，或者我极端一点说是不可能的事。

如果我们很好的建立了规律模式的基础经验，类比推理能力发展得也不错，我相信孩子抽象思维的基石已经牢靠，在小学早期的1-2年时间里你可以放手让孩子在运算结构中寻找规律，题目不在多，而在不断回顾总结。学校里老师只是比较重视错题集，但是缺乏让儿童找共性，归纳结构的能力培养，我们在训练儿童算术能力的同时，应当明确一点，既然题目可以千变万化，说明演绎是一种很重要的能力，儿童不是去应对千变万化的题目，而是应该学会演绎的思路，演绎是在心中已经有模式的基础上，将生活经验转化出来的方式，前提依然是已经掌握了规律模式。

我们谈论各种各样的加减法，什么结果未知，初始值未知，变化量未知，似乎我们认为孩子怎么也搞不清正序逆序的关系，好难讲啊，但其实回到本质模式，只是整体部分的模式，对应到世间事物，有些题目与物品有关，有些题目与事件有关，有些题目需要计算的是动作，有些需要计算的是时间等等，模式化，是我们大脑倾向于应用的方式，这能够提高效率，并且达到一通百通的境界。

我们需要采取一种迂回的策略，并不为解题而解题，而为寻找模式而解题。

第二水平：表征与对应能力水平

如果说规律模式是数学思维发展的基石，那么表征以及对应能力几乎可以称之为“神奇的解剖刀”，它是一样可以解决任何数学难题的利器。

同样的，在许多问题的解答上，孩子不明所以，是因为他们无法像一个外科医生那样精准地剖析，无处下手，眼睛已经被表面现象迷乱，看到的是各种各样的条件，以及数字满天飞。学习过各种套路，就不管三七二十一，套上用用再说，这是导致我们怎么辅导孩子，都很难突破瓶颈的第二个重要原因。

表征能力如果从低幼儿童开始说起，就是最最基础的数量概念的建立，我们在建立数量概念的过程中要用到各种各样的表征，我们不仅要使用文字语言上的表征方式，我们还要利用视空间的表征方式来让问题的整体性在空间层面表达出来。低幼时期是一个最佳的学习图形表征的时期，而这一点也恰恰是我们数学教育中非常缺失的环节。既然题目已经解答出来了，我们何必要画图呢？这大约因为我们成人自己也不擅长这点吧。

表征对应能力的发展，关系到如何解决：

图形补缺来解决周长和面积问题

算式谜题里面各种图形符号替换

代数思维，方程思路

在盈亏问题中一个维度的增量调节到另一维度中

比例问题以及矩形图式在各种运算结构中的应用

表征是人类天生的系统，不断在进化，目的是为了更加简便高效，从这个角度讲，数学作为一门应用科学，在解决许多问题的时候，其出发点和思路也是如此，为了高效，为了统筹，为了简化问题，我们“发明”了各种表征方式。

而对应从幼儿园时期开始，我们就应当非常重视“一一对应”能力的培养，父母老师都很在意孩子数数能力，但口头上的重视，仅表现在关心数字大到几了，而并不关心孩子是否能够对应物体去数数。大多数时候，我们太关心儿童“社会性知识”的获得，所以总是表现在用记忆力来衡量儿童是否聪明。但是隐藏在一些不太明显的举动后面的，比如儿童的秩序感，总是要求绝对对应，以及模仿能力，都体现了儿童对应思维的发展，往往难以量化来比较高低强弱，成人因为失去了标准和对比，所以往往将之忽略。

归根结蒂，我们必须要说，这是数学教育上的极大失误，因为我们几十年的教育在让我们错误认识数学，总是把“数量”等同于数学，数学如果不能够量化，还能称之为数学吗，所以我们从来不关心那些需要定性，只是展示了结构模式，在视觉空间层面上有意义的行为表现。但恰恰是这些东西，决定了在高层挑战中，儿童的表现是怎样的。

第三水平：寻找数量关系能力水平

这一水平无论如何都必须到学龄后才能得以实现，如果说前两方面的能力，我们提前两年，在学龄前就可以开始准备，并且一直贯穿到整个学龄后期，那么寻找数量关系，是学龄后的注意力焦点，这个焦点外围，依然是规律模式以及表征对应能力在不断深化，他们夹带着推理能力的越来越成熟，促进了儿童越来越善于寻找数量关系，从而可以解决各种演绎出来的题目。

当然，这是我们一个理想图景，大多数困境都源自于我们既忽略了前两个水平的发展，又在学龄后迅速陷入学习解题策略的陷阱中。忽略寻找数量关系能力的培养，意味着我们会在三个方面都做不到位：

第一个方面是分类排序，可能很多人会奇怪，数量关系与分类排序有什么关联？我们以为数量关系就是4比2多2，6的一半是3，36与38的平均数是37，假如我们如此去理解，就好比我们在欣赏一副画时，看到了左边是山坡，右上角是太阳，中央上方是一条路，底下是一条河，嗯，还有左下角坐着一只兔子......这叫什么，叫“扁平式”思维，我们如何理解取决于我们如何看待，如何看待取决于我们如何分类并选择了什么构成方式，如果我们选择扁平，就会如此描述，如果我们选择层次，我们会描述成画面分成9个区域三个层次，光影决定了描绘的景深，色彩表达了情绪......数量关系，如果离开了分类排序，就只是一堆无意义的“算术”。

第二个方面是运算结构，我想再次强调算术不是数学，数学意味着结构，结构意味着首先我们头脑中都有分类盒子，然后有某种标准或者很多标准下的序列。然后我们才选择依据什么来寻找数量关系。每一种运算都体现了我们对事物的分类结构，体现了我们看到的场景，是如何在头脑中被安置了位置的。然后才有我们要去计算它们，量化他们。想象我们并不在意儿童头脑中的结构如何被建构出来，我们只是往里面填塞一个个故事，每一个题型的解题套路都是一个故事，儿童需要记忆这些故事，但是内在并无结构，那么离开了考试这个场景，这些故事都毫无意义。这也是为什么，我们很容易从日常生活中考察出儿童是否具有与考试相同级别的数学思维。

第三个方面是图式表征，前面第二水平我们讲过表征有两种，一种文字语言表征，一种视空间表征。图式表征是后一种，为什么我们要强调这一表征？因为图式表征可以表达文字语言所不能表达的空间结构，这依然在结构层面上具有优势，同时，我们有技巧可以将时间与空间统合在视空间图形中。要知道，数学问题与时空问题息息相关，时间与空间是不可分割的，但我们在提供儿童套路时，通常都不会讲时间线问题，我们的数学中没有渗透对时间这一维度的分析。也许是因为过于抽象，难以用语言表达得简洁易懂，而图形在这方面就很容易将时间变化结合进去。

如果我们从这三个方面去解决儿童寻求数量关系能力培养的问题，我们大约需要2年时间来打通四则运算，最最基础的数学运算结构单元。这个过程中，我们可以囊括所有的应用题题型。

寻找数量关系能力的发展，关系到如何解决：

理解加法结构以及加法与乘法的关系

理解平均数问题进而解决归一归总问题

通过以上两个方面理解和差／倍数问题

这些问题会衍生出来的年龄问题

解决行程问题以及将和差与行程结合起来的行船问题

不用说比例问题已经可以上升到很难的对应题上了

结合表征我们可以学习代数思维方程结构了

瞧，一连串的问题都可以被带出来，要提高儿童解题能力，不是简单粗暴地提供他们很多解题套路，不要总想着给孩子脑袋里装进一个又一个故事，要让他们背出来记住，不断拿故事去套题目，实力其实在于他们是否善于寻找数量关系，不管题目如何变，首先要寻找的就是数量关系，这种能力来自于我们前面说的三个分支。假如我们循序渐进地教导他们，每一个阶段一个个侧重点地去引导，并不断结合旧的知识经验，加以整合，我们可以期望两年后，孩子可以变得对运算结构非常娴熟，解题思路也灵活敏捷。

第四水平：洞穿复杂度能力水平

如果我们可以很好地掌握第三水平，那么第四水平，我们至少不会迷乱在复杂度增加的题目中，也就是通常我们说的扩展提型中。因为他们的基本结构是不变的，只是增加了一些复杂度，有时候也称为干扰因素。这些复杂度其实是模拟了现实世界中，假如我们要解决一个问题，情景必然是多种多样，各种不均衡，不规律的，那么我们要洞穿这些问题的本质，在本质结构层面的模式一旦掌握，我们再在第二层面解决那些干扰因素，就可以轻松攻克难关了。

这里面我们都知道，通常复杂题目的解析，很依赖于人的条理性够不够，归纳分析能力强不强。这两个词总是反复出现在教育里，但是总是给人感觉是不可触摸，因为谁也讲不清到底什么是条理性，什么是归纳分析能力，具体到落地的时候，找不到一种合适的训练方式，精确的评估。

让我们暂且放下这些模糊的概念，回到数学本身，条理的前提依然是结构，只是这里我们特别强调的是“层级结构”，人的头脑中，存放着各种概念，这些概念并非孤立，也不是串联，概念与概念之间有着密切关联，犹如一个网络一般。这个网络中也分层级，在不同问题的解决水平上，我们可以构建出不同的路径，这种路径就体现了条理性，先思考什么，先做什么，然后下一步是什么，这种思维模式的培养，并非如此这般告诉孩子，“你要想第一步做什么，第二步做什么”，他们就建立起来的，而是从最早期的分类，到了后来的集合，类包含，到了数学运算结构本身，我们不断强调，或者说不断在建构儿童的层级结构，他们从可以盖一个茅草屋，到了可以盖一栋摩天大楼的时候，也就是培养他们条理性以及归纳分析能力的过程。

洞穿复杂度能力水平的发展，关系到如何解决：

在四则运算题目中发现各种关系量的问题

关系量可能发生在一个维度或者几个维度上的问题

不管是总量还是分量都可能被隐藏我们如何找到对应关系的问题

类似过桥问题这样看似动静结合其实只是扩展维度的问题

在许多枚举题统筹安排的问题中将会涉及到如何分类分层的问题

学习的方式是滚雪球式的，烫的饭，我们总是一层层吃，坚硬的冰激凌我们总是一层层刮，越是艰难的问题，我们越需要层层递进，很多时候，我们放弃这种循序渐进的方式，是认为每一次都只在每个领域递进了一步，实在太慢了，我们希望一次性就彻底解决一个问题，但是又忽略了儿童的思维在每一层的深度上其实都需要各个领域的概念的辅助，于是一个问题的深度就牵扯出十个问题的广度，这个时候，我们发现智力不够用了，那么就放弃思考吧，直接记住背出来即可，再不行，刷题必然能解决问题。

这就是一个恶性循环，我们永远逃不出的深渊，一旦进入，没有回头之路。这也是为什么我从一开头就讲，如果一个孩子已经经历了三四年这样的学习方式了，基础层面千疮百孔，你若要回归正途，你会发现无论是你还是孩子都需要付出极大代价，这种精神力层面的代价尤其折磨人，所以也是基本上极少人可以成功。

原本我们可以谈谈第五个水平，模型思维水平，鉴于家长们原本已经够焦虑，现在教育也已经够超前，我也不想在此篇里详解了。下面就上面谈到的四个能力水平，我们从儿童学习的时间线上，我提供一份六年学习计划，仅供对数学思维发展有兴趣的家长学习参考。

儿童数学思维发展六年学习计划

第一年：4-5岁

重点目标：数量概念建立与表征能力培养

中班开始，可以正式进行数学启蒙了，这个时候，不要去想怎么样学会加法，什么时候背出乘法口诀表。我们的重点是抽象思维启蒙，什么是抽象思维，不受事物外在属性干扰，可以就其抽象本质进行思考。数量是事物的一种抽象本质，搞清楚加减法的前提也得是在理解数量的基础上建立的。搞清楚10以内的数量概念，你需要花一年时间，毫不夸张，因为里面有太多的学问了，我说过，这如同人类在月球上迈出第一步。这个过程中，我们会遇到各种表征以及类比推理，这些都是最最基础的表征能力，同时，已经开始理解基数与序数的区别，建立最最简单数字规律的概念了。规律这件事，我们还要在其他生活经验层面上，结合数字概念玩起来，秩序是这一时期的相当敏感的方面，孩子的大脑很容易从秩序层面来接受规律，建立模式，他们也会通过艺术表达的方式表征出这些对规律模式的理解。如果这个时期，能够充分接触积木，将对于儿童发展空间智能起到非常大的帮助，也能很好促进后面的视空间表征能力的进一步发展。

第二年：5-6岁

重点目标：学习类别结构以及建立模式

大班，虽然快要幼升小了，但是不用紧张，如果你前一年的数量概念建立得很好，就算此时他／她压根儿不会加减法，也不用担心，很快你的孩子会在半年里掌握10/20以内加减法，这个时期的重点依然不是在运算，而是在建立类别的各种结构以及识别各种模式，当然其中必然有数字模式（序列结构）。掌握加法是从模式中获得的，即便还没有进入小学，你的孩子已经可以从算式中推导出规律，并依据规律来写答案或者补全算式了。如果前一个阶段你把用功的地方放在了类比推理上，恭喜你，你会在本阶段发现自己的孩子怎么会如此“聪明”，自己都能发明算术了！从孩子可以推导出加法，到减法，这个过程中，我们还需要深化表征能力，体现在我们需要通过图式来解决一些最最简单的文字题，算式代表什么，此时是表征的重点。我们也始终会在表征中贯穿一个结构思想：整体部分思想。

第三年：6-7岁

重点目标：加乘原理以及图式表征

小学第一年，你肯定会遇到很多孩子的同班同学已经在外面各种超前学习了，此时你感觉到了压力，怎么课还没上，有些孩子已经在做乘法题了，或者几位数加减法了。稍安勿躁，你可以把眼光放再远一点，我们可以解决的不只是一年级运算结构问题，还可以将二三年级的基础先打牢靠了。重点就是加乘原理，要理解这种运算结构之间的关系，我们必然涉及到层级结构，以及如何用各种各样的图来表征这种分层的结构或者是整体部分的关系，我们也会在图式中正式引入时间线概念，要知道，孩子对时间的认知是多么重要！如果说前两年我们在表征游戏中已经让孩子接触了时间类型，那么此时是真正在时间序列上去考虑事情的发生变化，以及对应的算式如何表征，运算只是在解决时间空间维度上的一些未知，这些未知都依靠于我们将结构分析得一清二楚获得。不出意外的话，儿童自己能够在解析结构的过程中，将归纳能力与演绎能力得到很好的统一，而这就是你孩子在这一年里得到的最宝贵的礼物。

第四年：7-8岁

重点目标：各种常见应用题结构分析以及数游戏

小学二年级，此时你的孩子已经和别的孩子不同了，我所说的不同是思维结构上的不同，或许很多概念你的孩子还没有接触，比如各种奥数题型的名称以及思路，但是你的孩子对于四则运算的结构已经掌握得很清楚了，你要知道加减乘除相互之间的关联，可以衍生出无数种题目，但是知道本质结构，就可以定定心了，孙悟空逃不出如来佛掌，结构意味着一切。但是你需要小心的是你孩子在抽象思维上可能存在的平台期和断层，你需要让他尽快习惯于只与数字打交道，或者说，从数字游戏中获得乐趣。前几年我们在规律模式上打下过扎实的基础，此时在儿童熟练于四则运算的前提下，你可以让他玩玩大量的数游戏，不管是数独还是扑克牌24点，都是极佳的训练敏捷运算的方式。如果说应用题的结构分析训练的是儿童清晰的思路，条理分明的解题手法，那么数游戏训练的是儿童速度以及效率层面的能力和意识。一年时间足矣让他变成心算高手，同时也是一个概念高手。

第五年：8-9岁

重点目标：分数小数运算以及比例概念

三年级的时候，我们并不满足于当前的层级结构，需要在结构的维度上进行拓展，数字并非越大越好，小的数字更不容易掌握，当分数小数这样的概念推出的时候，无疑，儿童需要解构他的旧体系，重建一套新的结构，以便纳入这些数字概念，我们需要儿童从更为抽象的层面去理解数字关系，比例百分比概念，是建立在整体部分以及空间图式表征层面上的，让我们想象儿童具有极佳的结构思维以及类比推理能力，将很容易掌握这些数量关系。然后我们可以将过去的题目重新翻出来，再次用新的概念来解析一遍，哦，原来，数学可以在不同层次上以不同方法解决！这是一种发现奥秘的惊喜。

第六年：9-10岁

重点目标：方程思想与多策略应用

假如我们前五年都可以如此有效地安排每个阶段的学习，充分聚焦于重点目标上，那么第六年，我们可以顺理成章地进入代数方程结构的学习了，这个水平我们肯定会分化为几个维度去思考，必须重新思考儿童数学思维的体系性，是否均衡，无论从概念结构角度，还是从技巧操练角度，两者的推进总是相辅相成。从代数角度，或是从几何角度，也都存在着差异，每个个体总会在此时显现出其优势面和劣势面。总体上，我们主张扬长避短，但在小学数学这样的基础层面上，我们也强调均衡。所以无论从哪个角度讲，我们更需要此阶段，解决问题，以多策略方式进行，用推理也好，用方程表达数量关系也好，用图式层面内在结构也好，我们永远不会满足于用一种方法解决问题。我们应该不会为答案正确度烦恼，而应该思考更多路径的问题。偶尔，我们可以考量一下儿童的运算速度，这完全是在趣味竞争层面上的。

在我结束这篇长篇大论之前，想说：儿童并非一张白纸，也不是海绵，更不是什么橡皮泥可塑性很强，我们从某个方面如此谈论觉得有道理，但人类其实进化至今，在基因层面上，已经让一名出生婴儿头脑中已经预存了许多前概念，只是思维在浑沌与沉睡中，儿童的发展是在与世界的交互中，不断被激活，被唤醒的过程，思维从浑沌区域走向清明，必须经历错误，失败。不完美即时完美，每一时刻，我们知道自己不知道什么，才有追求的动力。我们接受不完美的现状，才有打通某一关的惊喜。放下教育的焦虑，首先要放下的是面面俱到的欲望，专注单纯的当下，才拥有丰富的未来。

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