有一种叫“24点”的游戏曾经风靡美国、日本等许多国家，深受青少年朋友的喜爱。这种游戏将两张王牌去掉，把A、J、Q、K分别看作1点，11点、12点、13点，或者将它们均看1点，其余牌面是几点，就是几点。
玩的规则不尽相同，其中有一种方法是：
（1）四个人每人抓到13张牌，每人每次从手中任意抽取一张牌。
（2）参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行＋、－、×、÷、（）运算，使结果为24。
（3）谁先列出，谁就得1分，牌入底；若四人均无法列出，则无人得分，牌也入底。
（4）再次每人任意抽取一张牌，再次按（2）（3）规则进行。
（5）重复（2）、（3）、（4），直至每人手中13张牌全部用完为一局，得分多者为胜。
例如，抽出的四张牌为3、4、7、11，可以这样计算：
（7－4）×（11－3）＝3×8＝24，或（7＋11）÷3×4＝18÷3×4＝6×4＝24
这是一种非常有趣的游戏，下面我们一起来试一试：
例1 抽出下面四组牌：（A，J，Q，K分别为1点，11点，12点，13点）
（1）2，3，4，5 （2）3，4，5，10
（3）K，7，9，5 （4）J，6，Q，5
你能算出24点吗？
分别：要想比赛获胜，必须有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎样的两个数求得，如2×12＝24，4×6＝24，3×8＝24，18＋6＝24，30－6＝24……这样就可以把问题转化成怎样使用4个数，凑出两个数的问题，其中有一点值得大家注意，就是四个数的顺序可以依据需要任意安排。
解：（1）依据2×12＝24，可得2×（3＋4＋5）＝24，
（2）依据3×8＝12，可得3×（10÷5×4）＝24，
（3）依据4×6＝24，可得（13－7）×（9－5）＝24，
（4）依据18＋6＝24，可得（11－5）＋（6＋12）＝24
说明：上面各题的解法并不一定是唯一的，如依据4×6＝24，也可得第（2）组为4×（10×3÷5）＝24，可是，就因为这样，才非常激烈、刺激。
例2 如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“1～9”中的同一数字的牌，请你帮忙想一想哪种情况可以算出“24”？怎样算？
分析：四人抽出同一数字的牌有9种情况，4个1，4个3，4个4……4个8，4个9，现在的问题转化为如何使四个相同的数字（1~9中的一个）填加运算符号，得“24”的问题。由于4个数字相同，用乘法关系最后求得“24”就不太容易，应考虑＋、－关系，27－3＝24，25－1＝24，20＋4＝24，12＋12＝24……经过尝试，我们发现，4个1，4个2，由于数太小，无法算出“24”，而4个7，4个8，4个9由于太大，也无法算出。其余可以实现。
解：依据27－3＝24 ，可得3×3×3－3＝24，
依据20＋4＝24 ，可得4×4＋4＋4＝24，
依据25－1＝24 ，可得5×5－5÷5＝24，
依据12＋12＝24 ，可得（6＋6）＋（6＋6）＝24，
说明：有些不能算出24，可能是由于我们知识水平的限制，而并非真的不能，如请同学们想一想4个10，4个11，4个12，4个13你能求解吗？
由上面的例子，我们可以很自然地想到这种游戏可以发展成一类专门的数学的问题，下面我们就来研究。
例3 填上适当的运算符号，使算式成立
（1）4 4 4 4＝5
（2）4 4 4 4＝6
（3）4 4 4 4＝7
（4）4 4 4 4＝8
（5）4 4 4 4＝9
（6）4 4 4 4＝10
分析：（1）4 4 4 4＝5，最后一个4前面是三个4，如可凑出1，1＋4＝5，如可凑出20，20÷4＝5，4×4 ＋4＝20，因此可求解。
（2）4 4 4 4＝6，最后一个4前面是三个4，如可凑出2，2＋4＝6；即（4＋4）÷4＝2，因此可求解。
（3）4 4 4 4＝7，前面两个4＋4＝8，后面两个4得1即可求解，4÷4＝1刚刚好。
（4）和（6）可利用（3）的思路稍加变化就可以求解。
（5）4 4 4 4＝10，最后一个4，前面如是6，6＋4＝10可求解，但不易做到。如前面是40，40÷4＝10也可以求解，44－4＝40，数字连用在这类题目中是常用的一种技巧。（题目中没有限制，当然是可以这样做的）。
解：
（1）（4×4＋4）÷ 4＝5
（2）（4＋4）÷4＋4＝6
（3）（4＋4）－4÷4＝7
（4）（4＋4）×4÷4＝8
（5）（4＋4）+4÷4＝9
（6）（44－4）÷4＝10
说明：（1），（2），（6）中的解题思路是一种倒推的方法，这是一种常用的，行之有效的方法同学们加以掌握。（4），（5）中解题思路是依据数字的特点，这种方法，依赖于良好的数感，需要大家经过一段时间的训练才能获得。
例4 不用（），且运算符号不超过三次，添在适当位置，使下面的算式成立。
9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000
分析：不使用（），运算顺序只能从左往右，先×、÷后＋、－；运算符号不超过三次，就会得到一些多位数。首先选一个多位数尽可能接近1000，可选999，1000－999＝1，后面6个 9要得到“1”，就很简单了999÷999，问题可求解；还可以用另一种方法接近1000，9999÷9＝1111，1111－1000＝111，后面9999想办法等于111，999÷9＝111，问题也可解出。
解：999＋999÷999＝1000
9999÷9－999÷9＝1000
说明：先靠近所求数，再进行适当调整，这是一种非常行之有效的方法，在数字比较多时常常用到。当然此题还有其它方法，同学们
可以用上面的思路再试一试。
例5 填入适当运算符号，使下式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1＝1000
分析：此题中9~1九个数字各不相同，位置固定，初看与前面的例题有很大不同，但是经仔细读题，认真分析，我们可以发现，做此题时，＋、－、×、÷（）均可使用，运算符号用多少次没有限制，数字可以连用，也可以分开，条件很宽松。由于1000数比较大，我们也采用例4中靠近结果，再凑较小数的方法解决。可以用987＋6＝993，再用5 4 3 2 1凑成7即可，这个方法就很多了。还可以取前边987和后边的21相加得1008，中间的6 5 4 3 凑成8就行了。
解：987＋6＋5－4＋3×2×1＝1000
987＋6＋5＋4－3+2－1＝1000
987＋6＋（5－4）×（3×2＋1）＝1000
987＋6＋5＋（4－3）×2×1＝1000
987－（6－5＋4＋3）＋21＝1000
说明：此题还有许多解决，但不论哪种方法，都遵循先靠近结果，再凑较少数的原则，大家可以再想想，你还能想到什么方法？
例6 在下列算式中合适的地方，填上括号，使算式成立。
（1）4＋5×6＋8÷4－2＝30
（2）4＋5×6＋8÷4－2＝39
（3）4＋5×6＋8÷4－2＝21
（4）4＋5×6＋8÷4－2＝140
分析：（1）从最后一步逆推，减2前面的式子得32，还从后面入手，这就需要4＋5×6＋8，填上适当的括号得128，尝试发现括号的填法有两种（4＋5）×6＋8，4＋5×（6＋8），分别得128，74，因此括号的填法为[（4＋5）×6＋8] ÷4－2＝30
（2）从最后一步逆推，减号前面的式子要得41，还从后面入手要求4＋5×6＋8＝41×4这是无法实现的。从前面入手考虑，就应设法使5×6＋8÷4－2＝35，还从前面想这就需要6＋8÷4－2＝7，可从这样实现（6＋8）÷（4－2）。因此括号的填法为4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39
（3）从后面减2前面的式子得23才能有解，可4＋5×6＋8÷4无论如何填加括号，都不可能现实。把4－2放在一个括号里等于2，i除号前面的式子就要得42，通过观察容易发现，4＋5×6＋8按顺序计算就可得42，所以此题括号的填法是（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21
（4）140比较大，应充分发挥“×”的作用，使“×”左右两侧的因数尽可能大，即（4×5）×（6＋8）＝280，再缩小2倍，就是所求结果，正好“÷”后面4－2＝2，所以此题括号的填法是（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140
解：
（1）[（4＋5）×6＋8]÷4－2＝30
（2）4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39
（3）（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21
（4）（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140
说明：填括号时既可以用“（）”，也可以根据需要用“[]”，从一端想起经过尝试，淘汰，最终可以找到解题方法。
阅读材料
数学符号的起源
数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，但数量多得多。现在常用的200多个，初中数学书里就不下20多种。他们都有一段有趣的经历。例如：（1）加号曾经有好几种，现在通用“+”号。“+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销。这样就成了个“+”号。到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号，“-”号用作减号。（2）乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“•”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”向拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“• ”号。到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号，他认为“×”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号。（3）“÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。（4）十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数量相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。1591年，法国数学家韦达大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。
练习题
1．在“24”点游戏中提出了下面几组牌，你能很快求出“24”吗？
（1）1，3，5，7 （2）2，5，7，9
（3）1，3，9，10 （4）10，4，10，4
（5）K，Q，J，J （6）Q，10，Q，1
分析：（4）10×10＝100是4的25倍，100－4＝96，正好是4的24倍，所以可以这样做（10×10－4）÷4＝24
（5）K，Q，J，J即13，12，11，11，依据25－1＝24可得13＋12－11÷11＝24
（6）Q，10，Q，1即12，10，12，1，依据12×2＝24可得12×（12－10）×1＝24
解：
（1）（5＋7）×（3－1）＝24 （2）5×7－9－2＝24
（3）（1＋10）×3－9＝24 （4）（10×10－4）÷4＝24
（5）13＋12－11÷11＝24 （6）12×（12－10）×1＝24
2．在“24”点游戏中，抽出了下面两组牌，你能求出“24”吗？
（1）3，3，7，7 （2）1，5，5，5
分析：（1）用常用的方法无论怎么求都不能得出“24”，是否就没有办法了呢？当然不是，用乘法分配律的方法就可以求解
（3＋3÷7）×7
＝3×7＋3÷7×7
＝24
（2）用同样的方法求解
（5－1÷5）×5
＝5×5－1÷5×5
＝24
解：（1）（3＋3÷7）×7＝24
（2）（5－1÷5）×5＝24
说明：熟练地掌握运算定律可以把题目化难为易，这里安排这两个题是为了开阔同学们的眼界，拓宽同学们的思路。
3．抽的四张牌恰好是“1～9”中从大到小连续排列的四张，这样的牌能算出“24”吗？
分析：符合要求的组合有六组：即9，8，7，6；8，7，6，5；6，5，4；6，5，4，3；5，4，3，2；4，3，2，1不难发现它们均可求出24点。
解：
（1）依据4×6＝24得8÷（9－7）×6＝24
（2）依据2×12＝24得（7＋5）×（8－6）＝24
（3）依据2×12＝24得（5＋7）×（6－4）＝24
（4）依据4×6＝24得2×（3＋4＋5）＝24
（5）依据4×6＝24得1×2×3×4＝24
说明：这个例子告诉我们不论从大到小，还是从小到大，连续取“1~9”中任意四个数均可凑成“24”。
4．添上适当的运算符号，使算式成立。
（1）6 6 6 6＝1 （2）6 6 6 6＝2
（3）6 6 6 6＝3 （4）6 6 6 6＝4
（5）6 6 6 6＝5 （6）6 6 6 6＝6
分析：（1）根据A÷A＝1，可得许多种解，如（6＋6）÷（6＋6）＝1或（6×6）÷（6×6）＝1……
（2）根据1＋1＝2，可得6÷6＋6÷6＝2
（3）根据18÷6＝3，可得（6＋6＋6）÷6＝3
（4）根据6－2＝4，可得6－[（6＋6）÷6]＝4
（5）根据30÷6＝5，可得（6×6－6）＝5
（6）根据0＋6＝6，可得6×（6－6）＋6＝6或（6－6）×6＋6＝0……
解：
（1）（6＋6）÷（6＋6）＝1 （2）（6÷6）＋（6÷6）＝2
（3）（6＋6＋6）÷6＝3 （4）6－［（6＋6）÷6］＝4
（5）（6×6－6）÷6＝5 （6）（6－6）×6＋6＝0
5．用7个7组成4个数，并使运算结果为100
7，7，7，7，7，7，7＝100
分析：首先要使一部分接近100，777÷7＝111，111－100＝11，后面的777凑成11就可以了77÷7＝11，所以可以这样解：
777÷7－77÷7＝100
6．在9个9之间填适当的运算符号，使下面算式成立。
9 9 9 9 9 9 9 9 9＝2008
分析：先要想办法使一部分靠近“2000”，999＋999＝1998，2008－1998＝10，后面的三个9凑成10即可。
解：999＋999＋9÷9＋9＝2008
说明：前六个数也可以用其他方法求得1998，如999×[（9＋9）÷9]＝1998这种题目往往不只一种解法。
7．填上适当的运算符号，使算式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1＝2007
分析：结果较大，先用一部分凑出与2007相接近的数，即654×3＝1962而2007－1962＝45，现在我们要办法使9，8，7，2，1凑成45，而45－21＝24，9＋8＋7＝24。
解：9＋8＋7＋654×3＋21＝2007
8．在11～15之间，选择恰当位置，填上适合的运算符号，使算式结果为100。
11 12 13 14 15=100
分析：原题的意思是使下式成立：
1 1 1 2 13 14 15 ＝100
取121靠近100，11＋121－31＝101，415凑成“1”即可有解，（4＋1）÷5＝1。还可以取111靠近100，111－21＝90，3 1 4 1 5 凑成10即可有解，3－1＋4－1＋５＝10此题还有许多方法，请同学们自己试一试。
解：11＋121－31－（4＋1）÷5＝100或111－21＋3－1＋4－1 ＋5＝100
9．现有的牌为1～10，请从中选牌，每张牌只用一次，使下列“24”点游戏成立。
（1）□＋□×６＋11＝24
（2）（□＋5）×2＋□＝24
（3）（□×10－□）÷4＋11＝24
（4）□×3－□÷2＝24
（5）□×5－4÷4＝24
（6）13＋□×3－10＝24
分析：观察这六个算式，我们发现（5），（6）很好确定所选牌是5和7。再观察余下的四个算式，（4）□×3－□÷2＝24，□×3>24，□可取9，10，取10时，□÷2的方块在1~10中无值可取，所以□×3只能取9，另一个□中可以取6。
再来观察（3）（□×10－□）÷4＝24 24×4＝96，所以□×10－□＝96，□×10≥100，1~10中，只能取10，另一个方□中就只能取4。
接下来看（1）□+□×6+11＝24，24－11＝13，□+□×6＝13，□×6<13的方格中可取1和2；取1时有7＋1×6＝13，7在（6）中已经用过，所以□×6的方格中只能取2，另一个□中取1。
最后观察（2）式，现在只剩下3、8，（□＋5）×2为偶数，24为偶数，所以第二个□只能取8，第一个方面中取3。
解：
（1） ×６＋11＝24 （2）（＋5）×2＋ ＝24
（3）（ ×10－ ）÷4＝24 （4） ×3－ ÷2＝24
（5） ×5－4÷4＝24 （6）13＋□×3－10＝24
10．在适当的位置中，填上括号，使下列算式成立。
（1）9＋60÷3＋2×4－1＝30
（2）9＋60÷3＋2×4－1＝56
（3）9＋60÷3＋2×4－1＝15
（4）9＋60÷3＋2×4－1＝45
分析：（1）题中只有÷3，－1两处可以使数值变小，特别值得注意的是“－”后面只有1，所以要想办法使算式中数靠近30，又要小于30，（9＋60）÷3＝23，再使后面得7即可，2×4－1正好得7。
（2）56是个较大的数，我们还要先靠近56，再凑小数，在中间的÷、×之间想办法，60÷（3＋2）×4＝48，再加8就得结果了，9－1＝8。
（3）从前端想15－9＝6，想办法使后面部分得6，60÷10＝6，3＋2×4－1正好得10。
（4）从前端想45－9＝36，36＝12×3＝9×4，60÷（3＋2）＝12，4－1＝3，可求解。
解：（1）（9＋60）÷3＋2×4－1＝30
（2）9＋60÷（3＋2）×4－1＝56
（3）9＋60÷（3＋2×4－1）＝15
（4）9＋60÷（3＋2）×（4－1）＝45
