[奥数和竞赛] 一道小二奥数题

本帖最后由 imlucky 于 2014-1-4 00:48 编辑

6 1 3 4 5 2


imlucky于2014-1-3 23:13补充以下内容：
已经做出12组答案


imlucky于2014-1-3 23:17补充以下内容：
看来就是12组答案

24组了

我一听奥数就头疼，进来吐槽的，呵呵。lz别介意哦。

这种题有技巧的，，三个尖上，，依次配上1、2、3、4、5、6中最大的三个数或者最小的三个数，剩余的就好配。

本帖最后由 strainless 于 2014-1-5 00:18 编辑

假设每条边的和为X，把三条边的和全加起来它们的和为: A+B+D（左边） + A+C+F（右边） + D + E + F（下边）=3X
1）A+B+C+D+E+F+(A+D+F)=3X
2）21 + (A+D+F) = 3X
3）7 + (A+D+F)/3 = X

从上面可以看出，顶点用了2次，因此三个顶点是关键且三个顶点的和必须为3的倍数，它们有如下关系:
A+D+F=6     X=9         
A+D+F=9     X=10
A+D+F=12   X=11
A+D+F=15   X=12

4）A + D + F=6， 有（1，2，3）1组数据，                                          经检验（1、2、3）满足条件
5）A + D + F=9， 有（1、2、6）（1、3、5）（2、3、4）3组数组，  经检验只有（1、3、5）满足条件
6）A + D + F=12，有（1、5、6）（2、4、6）（3、4、5）3组数据， 经检验只有（2、4、6）满足条件
7）A + D + F=15，有(4、5、6）1组数据，                                            经检验（4、5、6）满足条件

总结：满足条件的顶点有4组：（1、2、3）（4、5、6）（1、3、5）（2、4、6）。

每一组顶点的数据，ADF有6种组合，因此根据ABCDEF有24种组合。


另外一个很有趣现象就是，随便一组例如ABCDEF为165243，这些数字可以在三角形的圆圈中顺时针、或逆时针旋转，结果依然满足条件，转一周就有6组数据。
    1                  6                 2                   4                    3                     5   
  6   5            2    1           4    6             3    2              5    4               1    3
2  4  3         4   3   5       3    5    1       5   1   6          1   6   2           6   2   4


因此只要找到一个答案，我们就有6个答案。 实际上上方面每组答案，我们固定一个顶点，这个顶点的两条边是可以交换数据的。例如我们以第一个答案为例：
     1                                                                         1                                       3                                     2      
  6    5     固定顶点1，它的两条边交换数据变为    5    6  ， 固定2交换数据  4     5，  固定3交换数据  6    4      
2  4  3                                                                3   4   2                             2   6   1                           1   5   3  

因此上面每一个答案又可以得出4个答案，因此我们可以很轻松得出24个答案（实际上这24个答案有一半是重复的，因此由ABCDEF为165243推理出的24个数据不是所有的正确答案，因为ABCDEF为165243这组数据所衍生推出的所有答案的顶点只包含（1、2、3） 和（4、5、6）这两种情况， 没有包括我们上面证明的（1、3、5） 和（2、4、6）这两组数据）。

楼上牛，我都没看明白

stainless的方法太复杂了吧，小二孩子如何听懂？我和孩子讲这道题目的时候就是先找关键位的数字，然后再调整。因为数字都不大，调整比较容易的。
因为A+B=E+F，只要找出这样两对数字就可以了，如1+6=5+2，1+6=3+4，1+4=2+3，5+3=6+2，1+5=2+4，5+4=6+3等等。填写进去后，然后将另外两个数字填进去，适当调整两个数字的位置，很快就可以得到多组解法。

本帖最后由 strainless 于 2014-1-5 15:24 编辑

     A
  B     C      三条边上的数字之和相等，证明这些数字在三条边上顺时针或逆时针旋转后，依然满足三条边的和相等。
D   E    F


A+B+D=A+C+F=D+E+F   ---------> 同时加上C-D

A+B+D+C-D=A+C+F+C-D=D+E+F+C-D  整理

A+B+C = C+F+(A+C-D)=D+E+(F+C-D)   因为F为顶点，边A+C=D+E， A+C-D=E； 同理A为顶点,边D+B=C+F，F+C-D=B

因此                                                                                                                             B
B+A+C= C+F+E=D+E+B， 也即顺时针旋转一个数后，他们的和依然相等。           D    A   
                                                                                                                               E   F   C
同理可以证明，顺时针旋转2-5个数，他们依然满足三条边的和相等。

         D                         E                        F                     C                       
     E      B                 F       D                C      E             A      F
  F     C     A           C     A     B            A     B    D        B   D    E